フォイエルバッハ双曲線
幾何学において、フォイエルバッハ双曲線（ふぉいえるばっはそうきょくせん、英:Feuerbach hyperbola）は三角形の頂点、垂心、内心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ミッテンプンクト、シフラー点などを通る直角双曲線である。その中心は内接円と九点円の接点、フォイエルバッハ点である[1]。
等式
編集フォイエルバッハ双曲線は三線座標(α:β:γ)によって以下の式で表される[2]。
ここで は三角形の角の大きさである。
性質
編集- 三角形 の頂点と垂心を通る双曲線は直角双曲線となり、九点円上に中心を持つ（ポンスレ束）[3]。
- 内心 を通る接線は 線である。
- 接線三角形のフォイエルバッハ双曲線はシュタムラー双曲線（Stammler Hyperbola）という[4]。シュタムラー双曲線の中心はキーペルト放物線の焦点である。シュタムラー双曲線は内心と傍心、外心、類似重心、パリー鏡映点などを通る。
OI線の等角共役
編集フォイエルバッハ双曲線は 線（外心と内心を通る直線[5]）の等角共役の軌跡としても定義される[6]。有名点では、内心は自身、垂心は外心、ナーゲル点は混線内接円と外接円の接点が成す三角形との配景中心（外接円と内接円の外相似点）、ジェルゴンヌ点は外接円と内接円の内相似点の等角共役である。
刈屋の定理
編集
三角形 について、内接円と の対辺の接点をそれぞれ とする。 上にある点 が となるようにとる。このとき は共点である。これを刈屋の定理（Kariya's theorem）といい、その点を刈屋点と言う。名称は刈屋他人次郎に由来する[7][8]。刈屋点はフォイエルバッハ双曲線上にある。
刈屋の定理は長い歴史を持つ[9]。 刈屋の定理はAuguste BoutinとV. Retaliが証明するより前に刈屋の論文によって発表されていた[10][11][12][13]。現代では、刈屋の定理が一般化されてフォイエルバッハ双曲線となっている。
出典
編集- ^ Boucher, H. (1893). “Essai de classification sur les races gallines”. Annales de la Société linnéenne de Lyon 40 (1): 89–100. doi:10.3406/linly.1893.4047. ISSN 1160-6398.
- ^ Parry, C. F. (2001). “Triangle centers and central triangles, by Clark Kimberling (Congress Numerantium Vol. 129) Pp. 295. $42.50 1998. Template:Text 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg).”. The Mathematical Gazette 85 (502): 172–173. doi:10.2307/3620531. ISSN 0025-5572. JSTOR 3620531.
- ^ 齋藤 輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年5月5日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Stammler Hyperbola” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月19日閲覧。
- ^ “CENTRAL LINES”. faculty.evansville.edu. 2024年5月4日閲覧。
- ^ Rigby, J. F. (1973). “A concentrated dose of old-fashioned geometry”. The Mathematical Gazette 57 (402): 296–298. doi:10.2307/3616051. ISSN 0025-5572. JSTOR 3616051.
- ^ “CiNii Books 著者 - 刈屋, 他人次郎”. ci.nii.ac.jp. 2024年7月15日閲覧。
- ^ 『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂、1919年、623頁。doi:10.11501/1082035。
- ^ “Problems and Solutions”. The American Mathematical Monthly 119 (8): 699. (2012). doi:10.4169/amer.math.monthly.119.08.699.
- ^ Kahane, J. (1961). “Problèmes et remarques sur les carrés de convolution”. Colloquium Mathematicum 8 (2): 263–265. doi:10.4064/cm-8-2-263-265. ISSN 0010-1354.
- ^ Humbert, G. (1890). “Sur les coniques inscrites à une quartique”. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 4 (3): 1–8. doi:10.5802/afst.55. ISSN 0996-0481.
- ^ “Periodico di Matematica per ľinsegnamento secondario”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 3 (2): 56. (1889). doi:10.1007/bf03017173. ISSN 0009-725X.
- ^ Kariya, J. (1904). “Un probleme sur le triangle”. L'Enseignement Mathématiques 6: 130–132, 236, 406.