等角共役
幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、三角形△ABCと点Pについて、A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線の交点P*のこと、またはPとP*の関係である。
A, B, Cの角の二等分線で、直線PA, PB, PCを鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる[1]。 Pに対して、P*を等角共役、または等角共役点と言う。P*の等角共役点はPである。
例
編集性質
編集三線座標系で、 とする。ただし は頂点でないとする。 の等角共役点は である。 故に、Xの等角共役点はX –1で表されることもある。三角形の中心の集合Sで三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。
したがってSをアーベル群として見ると、Xの逆元はX –1である。
関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる[2]。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。
幾つかの有名な三次曲線（ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic）はXとX –1がともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である[3]。
他の定義
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PをBC, CA, ABで鏡映した点をPa, Pb, Pcとする。円PaPbPcの中心はPの等角共役点である[4]。これはPの垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。
一般化
編集2021年、ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した[5]。
△ABCと外接円錐曲線Ω、そして点Pについて、AP,BP,CPとΩが再び交わる点をそれぞれA',B',C'とする。A',B',C'を通るBC,CA,ABの平行線とΩの第二交点をA",B",C"として、AA",BB",CC"は共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という[6]。
Ωの中心XとPの重心座標をそれぞれx : y : z , p : q : r、としてPのダオ共役点は、 と表される。
Xが外心でΩが外接円ならば等角共役、 Xが幾何中心でΩがシュタイナー楕円ならば等長共役、XがX(1249)ならばpolar conjugateである[5]。
関連
編集参考文献
編集- ^ “等角共役点とその証明”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年5月11日閲覧。
- ^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園N/S高等学校研究部. 2024年5月12日閲覧。
- ^ “homepage”. Catalogue_of_Triangle_Cubics. Bernard Gibert. 2024年5月11日閲覧。
- ^ Steve Phelps. “Constructing Isogonal Conjugates”. GeoGebra. GeoGebra Team. 17 January 2022閲覧。
- ^ a b César Eliud Lozada, Preamble before X(44687)Encyclopedia of Triangle Centers
- ^ Clark Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2024年10月20日閲覧。