マッケイ三次曲線

ユークリッド幾何学において、マッケイ三次曲線（まっけいさんじきょくせん、英:McCay cubic, M'Cay cubic ,Griffiths cubic）とは、三角形に関する三次曲線の一つである。グリフィス三次曲線とも呼ばれる。 Bernard Gibertの「Catalogue of Triangle Cubics」ではK003として登録されている。

定義

  基準三角形△ABC

  △ABCの九点円

  Pの垂足三角形

  Pの垂足円（垂足三角形の外接円）

  マッケイ三次曲線:垂足円と九点円が接するときのP の軌跡

マッケイ三次曲線はいくつかの軌跡として定義される。

• 垂足円と九点円が接するような点Pの軌跡
• 点PとPの等角共役点と外心が共線である点の軌跡
• 擬調和三角形DEFと元の三角形ABCについてAB⊥FP,BC⊥DP,CA⊥EPとなるような（対垂であるような）点Pの軌跡
• 外心を通る直線と、その直線上の点の等角共役点の軌跡が成す外接円錐双曲線の交点（フォントネー点,Fontene points）の軌跡

などがある。

方程式

マッケイ三次曲線は重心座標 $x:y:z$ を用いて下の式で表される。

$\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}))=0.$

三線座標$\alpha :\beta :\gamma$では以下のように表される。

$\alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})\cos A+\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})\cos B+\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})\cos C=0$

三次曲線上の点

マッケイ三次曲線は以下の点を通る。

• 内心と傍心
• 外心
• 垂心
• 垂心の外心チェバ共役点X₁₀₇₅
• X₁₀₇₅の等角共役点X₃₃₆₂
• ジェルゴンヌ三角形の垂心X₆₅の、垂心チェバ共役点X₂₂₅のミモザ変換（Mimoza transform,内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点）X₁₇₄₅
• X₁₇₄₅の等角共役点X₁₃₈₅₅

漸近線

マッケイ三次曲線の3つの漸近線

Stelloid（不正規双曲線）とは3つの漸近線の成す角が60°である三次曲線を指す。マッケイ三次曲線はStelloidで、漸近線の交点は重心である。マッケイ三次曲線の漸近線と漸近線が平行でまた、有限個の点で交わり、circum-stelloid（3つの頂点を通るStelloid）である三次曲線は、McCay stelloidと呼ばれる。漸近線の交点はStelloidのradial centerと呼ばれる。 有限個のradial centerが与えられたとき、McCay Stelloidはただ一つに決まる。

関連

• フォイエルバッハの定理
• 第三フォントネーの定理
• 三角形の三次曲線