垂足円

垂足円（すいそくえん、英: pedal circle）は、幾何学において三角形 $ABC$ と点 $P$ について決まる特別な円である。具体的には、点 $P$ から $△ ABC$ の辺に降ろした垂線と辺の交点 $P a, P b, P c$ （垂足）が成す三角形（垂足三角形）の外接円を指す用語^[1]^[2]。

基準三角形の外心を $O$ 、外接円の半径を $R$ として、 $P$ の垂足円の半径 $r P$ は次の式で表される^[2]。

r_{P}={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}

$P$ が基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これは $P$ の垂足三角形が退化してシムソン線となり、その垂足円は半径が無限大の円となるためである。 $P$ が基準三角形の内心であるとき、その垂足円は基準三角形の内接円である。 $P$ が基準三角形の垂心または外心であるとき、その垂足円は九点円である^[3]。

$P$ を外接円上にない点として、 $P$ の等角共役点 $Q$ の垂足円は $P$ の垂足円と一致する。つまり垂足 $P a, P b, P c$ と $Q a, Q b, Q c$ は同一円周上にある。さらに垂足円の中心は線分 $PQ$ の中点である^[1]。

グリフィスの定理または第二フォントネーの定理によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある定点を通る^[4]。

共線でない4点 $A, B, C, D$ について、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる^[3]。

一般化

2021年斎藤輝は、対垂三角形を対等角三角形に一般化するように、垂足円を任意の角に一般化した^[5]。

等角共役点

P, Q

をそれぞれ各辺に

θ, -θ

の角度で射影した点、延べ6点は共円である。

$θ = 90°$ とすれば垂足円を得る。

出典

^ ^a ^b Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75
^ ^a ^b Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Pedal Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Griffiths' Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
^ 齋藤輝 (2021). “シムソン線,９点円の一般化とオイラー・ポンスレ点”. 塩野直道記念第9回「算数・数学の自由研究」作品コンクール.

外部リンク

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Pedal Circle of Isogonal Conjugates - GeoGebra
pedal triangle and pedal circle
等角共役点

[:0-1] Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75

[Johnson-2] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240

[mw-3] Weisstein, Eric W. "Pedal Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

[4] Weisstein, Eric W. "Griffiths' Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

[5] 齋藤輝 (2021). “シムソン線,９点円の一般化とオイラー・ポンスレ点”. 塩野直道記念第9回「算数・数学の自由研究」作品コンクール.

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垂足円

目次

一般化

出典

関連項目

外部リンク