混線内接円

混線内接円^[1]（こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 $A$ を含む二辺に接する混線内接円は $A$ 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。

一意に存在することの証明

三角形 $ABC$ の $A$ 傍接円は一意に存在する。 $A$ を中心とし ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ を半径とする反転と、角 $A$ の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を $\Phi$ とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 $\Phi$ も同様である。このとき、 $\Phi$ による $A$ 傍接円の像は、辺 $AB$ と辺 $AC$ に内接し、かつ三角形 $ABC$ の外接円に接するので、すなわち $A$ 混線内接円である。したがって、 $A$ 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により $B$ と $C$ に対しても同じことが示される^[2]。

作図

六角形

XCABYT_{A}

とその三組の対辺の交点

D,I,E

$A$ 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる^[3]。

角の二等分線を交わらせることで内心 $I$ を描く。
$I$ を通り直線 $AI$ に垂直な直線を描き、直線 $AB$ と $AC$ との交点をそれぞれ点 $D$ と $E$ とする。これらは混線内接円が接する点になる。
点 $D$ と $E$ からそれぞれ $AB$ と $AC$ の垂線を描き、その交点を $O_{A}$ とする。 $O_{A}$ を中心とし $O_{A}E$ を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

補題（ニクソンの定理）

この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である^[4]^[5]。

証明

$\Gamma$ を三角形 $ABC$ の外接円とし、 $T_{A}$ を $A$ 混線内接円 $\Omega _{A}$ と $\Gamma$ の接点とする。 $T_{A}$ と異なる点 $X$ と $Y$ を、それぞれ $T_{A}D$ と $\Gamma$ の、 $T_{A}E$ と $\Gamma$ の交点とする。 $T_{A}$ を中心として $\Omega _{A}$ と $\Gamma$ のあいだに相似変換を施すことにより、 $X$ と $Y$ がそれぞれ $\Gamma$ の弧 $AB$ と $AC$ の中点であることがわかる。円周角の定理により、 $X,I,C$ と $Y,I,B$ がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を $\Gamma$ に接する六角形 $XCABYT_{A}$ に適用することにより、 $D,I,E$ が共線であることがわかる。角 $\angle {DAI}$ と $\angle {IAE}$ が等しいことから、 $I$ が線分 $DE$ の中点であることが従う^[2]。

他の性質

半径

次の公式は内接円の半径 $r$ と三角形 $ABC$ の $A$ 混線内接円の半径 $\rho _{A}$ を結びつける^[6]。

$r=\rho _{A}\cos ^{2}{\frac {A}{2}}$

このことから即座に次の式が従う：

$AD=AE={\frac {\rho _{A}}{\tan {\frac {A}{2}}}}={\frac {2r}{\sin {A}}}={\frac {bc}{s}}$

ただし $s$ は半周長であり、またこの式は点 $A,B,C$ と円 $O$ に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる^[7]。

外接円の点との関係

点 $A$ を含む弧 $BC$ の中点は直線 $T_{A}I$ 上にある^[8]^[9]。
四角形 $T_{A}XAY$ は調和四角形である。すなわち、 $T_{A}A$ は三角形 $XT_{A}Y$ の類似中線である^[2]。

外接円との接点に関連する円

$T_{A}BDI$ と $T_{A}CEI$ は共円四辺形である^[8]。

螺旋相似

$T_{A}$ は $B$ と $I$ をそれぞれ $I$ と $C$ に写す螺旋相似（英語版）の中心である^[2]。

三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係

頂点と接点を結ぶ直線

各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(56) として紹介されている^[10]。三線座標では ${\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}$ であり、重心座標では ${\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}$ である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。よってこの点はフォイエルバッハ双曲線上にある。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる^[11]。

根心

三つの混線内接円の根心 $J$ は、 $OI$ を $OJ:JI=2R:-r$ に内分する。ここで $I$ は内心、 $r$ は内半径、 $O$ は外心、 $R$ は外半径である^[9]。

$J$ はミッテンプンクトの等角共役X(57)と内心の中点である。また、重心とジョンソン中点（オランダ語版）と共線である。Encyclopedia of Triangle CentersではX(999)に該当し三線座標は以下の式で与えられる^[12]。

$a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4ca-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})$

混線傍接円

ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に外接する円を混線傍接円（Mixtilinear excircles）という^[9]^[13]^[14]^[15]。混線内接円と同様に、二辺との接点の中点は傍心である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第ニ混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる^[11]。

頂点と接点を結ぶ直線

各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(55) として紹介されている^[16]。三線座標では $a(c+a-b):b(c+a-b):c(a+b-c)$ であり、重心座標では $a^{2}(c+a-b):b^{2}(c+a-b):c^{2}(a+b-c)$ である。

この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の調和共役、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる^[11]。

根心

三つの混線傍接円の根心 $J'$ は $OI$ を $OJ':J'I=2R:4R-r$ に内分する^[9]。Encyclopedia of Triangle CentersではX(6244)に該当し三線座標は以下の式で与えられる^[17]。 $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$ ただし $f(a,b,c)=a(a^{4}-2(b+c)a^{3}+10a^{2}bc+2(b+c)(b^{2}+c^{2}-4bc)a-(4bc+b^{2}+c^{2})(b-c)^{2})$

アポロニウス円

3つの混線傍接円のアポロニウス円（3つの混線傍接円に外接する円）の中心はOI線上に存在する^[18]。

参考文献

^ チェン, エヴァン『数学オリンピック幾何への挑戦：ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年、98頁。
^ ^a ^b ^c ^d Baca, Jafet. “On Mixtilinear Incircles”. October 27, 2021閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Mixtilinear Incircles” (英語). mathworld.wolfram.com. 2021年10月31日閲覧。
^ Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics Volume 3: 1-4.
^ Jean-Louis Ayme. “Sawayama and Thebault’s theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月19日閲覧。
^ Yui, Paul (April 23, 2018). “Mixtilinear Incircles”. The American Mathematical Monthly 106 (10): 952–955. doi:10.1080/00029890.1999.12005146 October 27, 2021閲覧。.
^ 岩田至康『幾何学大辞典補巻2』槙書店、1993年、23頁。ISBN 4837506119。
^ ^a ^b Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. pp. 68. ISBN 978-1-61444-411-4
^ ^a ^b ^c ^d Nguyen, Khoa Lu (2006年). “On Mixtilinear Incircles and Excircles”. Forum Geometricorum. November 27, 2021閲覧。
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[1] チェン, エヴァン『数学オリンピック幾何への挑戦：ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年、98頁。

[:12-2] Baca, Jafet. “On Mixtilinear Incircles”. October 27, 2021閲覧。

[3] Weisstein, Eric W.. “Mixtilinear Incircles” (英語). mathworld.wolfram.com. 2021年10月31日閲覧。

[4] Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics Volume 3: 1-4.

[5] Jean-Louis Ayme. “Sawayama and Thebault’s theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月19日閲覧。

[:0-6] Yui, Paul (April 23, 2018). “Mixtilinear Incircles”. The American Mathematical Monthly 106 (10): 952–955. doi:10.1080/00029890.1999.12005146 October 27, 2021閲覧。.

[7] 岩田至康『幾何学大辞典補巻2』槙書店、1993年、23頁。ISBN 4837506119。

[:2-8] Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. pp. 68. ISBN 978-1-61444-411-4

[:3-9] Nguyen, Khoa Lu (2006年). “On Mixtilinear Incircles and Excircles”. Forum Geometricorum. November 27, 2021閲覧。

[10] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(56) = EXSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE)”. faculty.evansville.edu. 2021年10月31日閲覧。

[:1-11] “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年5月11日閲覧。

[12] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(999) = MIDPOINT OF X(1) AND X(57)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。

[13] Philip Todd (2006). The Journal of Symbolic Geometry (Volume 1). https://journal.geometryexpressions.com/pdf/Mixtilinear.pdf#:~:text=A%20mixtilinear%20excircle%20is%20tangent%20to%202%20sides,of%20a%20triangle%20and%20%28externally%29%20to%20the%20circumcircle..

[14] “CREATIVE GEOMETRY”. arXiv. 2024年6月23日閲覧。

[15] “Mixtilinear”. users.math.uoc.gr. 2024年6月23日閲覧。

[16] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(55) = INSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE)”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。

[17] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 X(6244) = 1st-CIRCUMPERP-TRIANGLE-ORTHOLOGIC CENTER OF MIXTILINEAR TRIANGLE”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。

[18] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part5 X(8158) = CENTER OF THE APOLLONIAN CIRCLE OF THE EXTERNAL MIXTILINEAR CIRCLES”. faculty.evansville.edu. 2024年6月23日閲覧。

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