超幾何関数(ちょうきかかんすう、英: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。
ただし、(x)n はポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1、(x)n = x (x+1) (x+2)…(x+n−1) である。
超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。
対数関数、逆三角関数
完全楕円積分
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される[1][2]。
これは
として導かれる。
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に z = 1 {\displaystyle z=1} を代入するとガウスの超幾何定理を得る[2][3]。
となる。更に a = − n {\displaystyle a=-n} を代入するとヴァンデルモンドの恒等式(英語版)を得る[4]。