ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol）はレオ・オーギュスト・ポッホハマー（英語版）の名に因む特殊函数^{[* 1]}で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

複素数 $x$ と正整数 $n$ に対して、特殊函数論では $(x) n$ を昇冪^{[* 2]}

(x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)

を表すのに用いるが、組合せ論では $(x) n$ を降冪^{[* 3]}

(x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を $(x) n$ , 降冪を $(x) n$ でそれぞれ表すこともよく行われる^{[* 4]}。さらにグラハム, クヌース & パタシュニク (2020, pp. 48–49, 64) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

{\begin{aligned}x^{\overline {n}}&=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\x^{\underline {n}}&=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{aligned}}

差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。ガンマ関数Γを用いると

{\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\end{aligned}}

となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて

{\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {x!}{(x-n)!}}\quad (x\geq n)\end{aligned}}

各

n

に対するポッホハマー記号

(x, n)

のグラフ

ポッホハマー記号 $(x, n)$ は複素変数 $x$ に関して有理型函数である。
任意の自然数 $n \in N$ に対して $(x, n)$ は $x$ の多項式であり、 $x = 0$ を共通根に持つ。
変数 $x$ の符号を反転するとき
$(-z,n)=(-1)^{n}(z-n+1,\,n).$
径数 $n$ の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:
$(x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}.$
$(z,\,n+m)=(z,n)(z+n,\,m)$
商の法則:
${\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\begin{cases}(x+m,\,n-m)&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m,\,m-n)}}&(m>n).\end{cases}}$
特殊値:
$(1,n)=n!\quad (n\in \mathbb {N} ).$

$(1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!\quad (n\in \mathbb {N} ).$
二項係数との間に以下の関係がある:
${z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.$

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

ニュートンの二項級数:
$(1-z)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-a)_{k}}{k!}}\,z^{k}\qquad (|z|<1).$
超幾何函数:
${}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}}\;;\;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}k!}}\,z^{k}.$

→詳細は「qポッホハマー記号」を参照

ポッホハマー記号の $q$ -類似に $q$ -ポッホハマー記号がある。これは

(a;q)_{0}:=1,\quad (a;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})

で定義される。

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

(a)_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{\kappa _{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)\quad (\kappa =\kappa _{1}+\kappa _{2}+\dotsb +\kappa _{m},\,\alpha >0).

^ ポッホハマー自身は $(x) n$ を二項係数に用い、降冪は $[x] n$ 、昇冪は $[x] + n$ で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81)
^ Weisstein, Eric W. "Rising Power". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Weisstein, Eric W. "Falling Power". mathworld.wolfram.com (英語).
^ それほど一般的ではないが昇冪を $(x) + n$ と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は $(x) - n$ と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414)