四つ子素数

四つ子素数（よつごそすう、英: prime quadruplet）とは、4個の素数の組で、 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ のタイプのもののことをいう。ここで、 $(p, p + 2)$ および $(p + 6, p + 8)$ はいずれも双子素数であり、 $(p + 2, p + 6)$ はいとこ素数であり、 $(p, p + 6)$ および $(p + 2, p + 8)$ はいずれもセクシー素数であり、 $(p, p + 2, p + 6)$ および $(p + 2, p + 6, p + 8)$ はいずれも三つ子素数である。

四つ子素数を小さい順に並べると、

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), \dots

となる。最小のもの以外は、 $(30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19)$ （ $n$ は $0$ 以上の整数）の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に $(1, 3, 7, 9)$ となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。

四つ子素数が無数に存在するのかどうかは2016年9月現在未解決である。

四つ子素数の逆数和は収束し、

\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots =0.8705883800\pm 5\times 10^{-10}

である。

2019年2月現在発見されている四つ子素数 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ で最大の $p$ は、10132桁の $667674063382677 \times 2 33608 - 1$ である^[1]。

最初の38組の四つ子素数

  {5, 7, 11, 13},               {11, 13, 17, 19},             {101, 103, 107, 109}, 
  {191, 193, 197, 199},         {821, 823, 827, 829},         {1481, 1483, 1487, 1489},
  {1871, 1873, 1877, 1879},     {2081, 2083, 2087, 2089},     {3251, 3253, 3257, 3259},
  {3461, 3463, 3467, 3469},     {5651, 5653, 5657, 5659},     {9431, 9433, 9437, 9439},
  {13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739},
  {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919},
  {19421, 19423, 19427, 19429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279},
  {25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849},
  {43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339},
  {62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499},
  {72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699},
  {81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819},
  {97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139},...

最初の数はオンライン整数列大辞典の数列 A007530、2番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A136720、3番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A136721、4番目の数はオンライン整数列大辞典の数列 A090258を、中央の数はオンライン整数列大辞典の数列 A173037を参照。

五つ子素数、六つ子素数

四つ子素数 $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ について、 $p - 4$ または $p + 12$ がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数（いつつごそすう、prime quintuplet）という。特に $p - 4$ と $p + 12$ の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数（むつごそすう、prime sextuplet）という。

五つ子素数、六つ子素数が無数に存在するかどうかはわかっていない。

五つ子素数の例

$p + 12$ 型^[2]

{5, 7, 11, 13, 17},  {11, 13, 17, 19, 23}, 　{101, 103, 107, 109, 113}, 
{1481, 1483, 1487, 1489, 1493},      {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, 
{19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, 
{22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793},...

$p - 4$ 型^[3]

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879},
{3457, 3461, 3463, 3467, 3469},      {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, 
{15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, 
{19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789},...

六つ子素数の例

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073},
{19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433},             {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793},
{1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273}, {1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853},
{1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373}, {2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723},...

その他の形と「七つ子」以上

$p - 2$ および $p + 10$ は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は $(p - 2, p, p + 2, p + 6, p + 8)$ の形の $(3, 5, 7, 11, 13)$ しか存在しない。

また、 $p - 6$ , $p + 14$ はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる $(p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14)$ の形の「六つ子」は、 $(5, 7, 11, 13, 17, 19)$ しか存在しない。

さらに $p - 8$ , $p + 16$ はいずれも 3 の倍数になるため、六つ子素数の両端±4の範囲には素数はない。 $(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)$ , $(5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)$ の「七つ子」、 $(3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)$ の「八つ子」を除いて、差が4以内で連なる七つ子以上の素数の組は存在しない。

脚注

^ “The Top Twenty: Quadruplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。
^ OEIS A022006
^ OEIS A022007

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Prime Quadruplet". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] “The Top Twenty: Quadruplet”. Prime Pages. 2019年5月24日閲覧。

[2] OEIS A022006

[3] OEIS A022007

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