セクシー素数

セクシー素数（セクシーそすう、英: sexy primes）とは、差が $6$ の素数の組 $(p, p + 6)$ である。セクシー素数は無数に存在するかどうかは2016年10月現在、未解決である。最小のセクシー素数は $(5, 11)$ である。もし $p + 2$ または $p + 4$ も素数であれば、そのセクシー素数は三つ子素数の一部となる。

なおこの用語は、ラテン語で $6$ が sex であることに由来するものである。

種類

セクシー素数の組

500 までのセクシー素数は次の通りである（オンライン整数列大辞典の数列A023201、A046117）:

(5, 11)

,

(7, 13)

,

(11, 17)

,

(13, 19)

,

(17, 23)

,

(23, 29)

,

(31, 37)

,

(37, 43)

,

(41, 47)

,

(47, 53)

,

(53, 59)

,

(61, 67)

,

(67, 73)

,

(73, 79)

,

(83, 89)

,

(97, 103)

,

(101, 107)

,

(103, 109)

,

(107, 113)

,

(131, 137)

,

(151, 157)

,

(157, 163)

,

(167, 173)

,

(173, 179)

,

(191, 197)

,

(193, 199)

,

(223, 229)

,

(227, 233)

,

(233, 239)

,

(251, 257)

,

(257, 263)

,

(263, 269)

,

(271, 277)

,

(277, 283)

,

(307, 313)

,

(311, 317)

,

(331, 337)

,

(347, 353)

,

(353, 359)

,

(367, 373)

,

(373, 379)

,

(383, 389)

,

(433, 439)

,

(443, 449)

,

(457, 463)

,

(461, 467)

, …

2023年7月 (2023-07)現在^[update]発見されている最も大きいセクシー素数は、Serge Batalov によって発見された51,934桁の数である。そのセクシー素数を $(p, p + 6)$ とすると、 $p$ は

p = 11922002779 \cdot (2 172486 - 2 86243) + 2 86245 - 5

で与えられる^[1]。

セクシー素数の三つ組

3個の素数の組 $(p, p + 6, p + 12)$ で $p + 18$ が合成数である場合をセクシー素数の三つ組 (sexy prime triplets) と呼ぶ。 $p + 18$ が素数である場合を除外するのは $(p, p + 6, p + 12)$ と $(p + 6, p + 12, p + 18)$ がダブルカウントされるのを防ぐためである。セクシー素数の三つ組を1000まで以下に挙げる (A046118, A046119, A046120):

(7, 13, 19)

,

(17, 23, 29)

,

(31, 37, 43)

,

(47, 53, 59)

,

(67, 73, 79)

,

(97, 103, 109)

,

(101, 107, 113)

,

(151, 157, 163)

,

(167, 173, 179)

,

(227, 233, 239)

,

(257, 263, 269)

,

(271, 277, 283)

,

(347, 353, 359)

,

(367, 373, 379)

,

(557, 563, 569)

,

(587, 593, 599)

,

(607, 613, 619)

,

(647, 653, 659)

,

(727, 733, 739)

,

(941, 947, 953)

,

(971, 977, 983)

, …

2023年7月 (2023-07)現在^[update]知られている最も大きいセクシー素数の三つ組は、Serge Batalov によって発見された15,004桁の数である。それを $(p, p + 6, p + 12)$ とすると、 $p$ は

p = 2494779036241 \cdot 2 49800 + 1

で与えられる^[2]。

セクシー素数の四つ組

セクシー素数の四つ組 (sexy prime quadruplets) $(p, p + 6, p + 12, p + 18)$ は、十進表記で一の位が $1$ の素数でのみ始まる（ $p = 5$ のときは例外）。セクシー素数の四つ組を1000まで以下に挙げる (A023271, A046122, A046123, A046124):

(5, 11, 17, 23)

,

(11, 17, 23, 29)

,

(41, 47, 53, 59)

,

(61, 67, 73, 79)

,

(251, 257, 263, 269)

,

(601, 607, 613, 619)

,

(641, 647, 653, 659)

, …

2023年7月 (2023-07)現在^[update]知られている最も大きいセクシー素数の四つ組は、Ken Davis により発見された3,207桁の数である。それを $(p, p + 6, p + 12, p + 18)$ とすると、 $p$ は

p = (1021328211729 \cdot 2521# \cdot (483 \cdot 2521# + 1) + 11#) \cdot (483 \cdot 2521# - 1) / 7# + 1

で与えられる^[2]（ここで $#$ は素数階乗を表す）。三つ組・四つ組が無数に存在するかどうかは分かっていない。

セクシー素数の五つ組

公差 $6$ の等差数列5項において、 $6 > 5$ かつ $5$ と $6$ が互いに素であることから、5項のうち1つは $5$ で割り切れるが、 $5$ で割り切れる素数は $5$ のみである。ゆえに、唯一のセクシー素数の五つ組 (sexy prime quintuplets) は $(5, 11, 17, 23, 29)$ に限られる。

セクシー素数の六つ組以上

セクシー素数の五つ組は $(5, 11, 17, 23, 29)$ に限られるが、 $29 + 6 = 35 = 5 \times 7$ は合成数であるためセクシー素数の六つ組 (sexy prime hextuplets) は存在せず、それ以上も当然存在しない。

出典

^ “CPAP-2”. The Largest Known CPAP's. Norman Luhn. 2024年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月30日閲覧。
^ ^a ^b “Sexy Triplets & Sexy Quadruplets”. The Largest Known CPAP's. Norman Luhn. 2024年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月30日閲覧。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Sexy Primes". mathworld.wolfram.com (英語).（2010年9月20日閲覧）

[1] “CPAP-2”. The Largest Known CPAP's. Norman Luhn. 2024年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月30日閲覧。

[:0-2] “Sexy Triplets & Sexy Quadruplets”. The Largest Known CPAP's. Norman Luhn. 2024年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年1月30日閲覧。

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