円周率の無理性の証明 （えんしゅうりつのむりせいのしょうめい）は、円周率 が無理数 であること、すなわち円周率の小数 展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明 である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない[ 1] 微分積分学 のみを用いるものである。
円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀 のアリストテレス が予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年 、ドイツ の数学者 ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト は、正接関数 の無限連分数 表示
tan
x
=
x
1
−
x
2
3
−
x
2
5
−
x
2
⋱
{\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}
を用いて、初めて円周率の無理性を示した[ 2] 1794年 にフランス のアドリアン＝マリ・ルジャンドル は厳密な証明を与え、さらに π 2 も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは π の無理性よりも強い結果を示した。
20世紀 には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、カナダ 出身のイヴァン・ニーベン が1947年 に発表した証明[ 3] 1945年 にも、イギリス のメアリー・カートライト （英語版 ） ハロルド・ジェフリーズ の著書に収録された[ 4] 1949年 、日本 の岩本義和 は、ニーベンのアイデアを用いて π 2 が無理数であることの初等的な証明を与えた[ 5]
1978年 、フランスのロジェ・アペリー は全ての立方数 の逆数 和
1
1
3
+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }
が無理数であることを示した（アペリーの定理 を参照）。この値は、リーマンゼータ函数
ζ
(
s
)
=
1
1
s
+
1
2
s
+
1
3
s
+
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
の s = 3 における値 ζ (3) である。同様の手法で、彼は全ての平方数 の逆数和
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
4
2
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
すなわち ζ (2) も無理数であることを示した。この極限 は
π
2
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}
レオンハルト・オイラー が示していたので（バーゼル問題 を参照）、これはルジャンドルが示したことと同値 である。すなわち、アペリーの証明は π 2 が無理数であることの別証明になっている。
本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 π は、正弦関数 sin x の正の零点 の中で最小のものとする[ 6] 背理法 による。すなわち π が有理数であり
π
=
a
b
{\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}
a , b は正 の整数 ）と表せるものと仮定して、それから矛盾 を導く。
自然数 n に対して、実 関数 fn (x ) を
f
n
(
x
)
=
1
n
!
x
n
(
a
−
b
x
)
n
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n!}}x^{n}(a-bx)^{n}}
で定義する。さらに、
F
n
(
x
)
=
f
n
(
x
)
−
f
n
(
2
)
(
x
)
+
f
n
(
4
)
(
x
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
f
n
(
2
n
)
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n}^{(2)}(x)+f_{n}^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f_{n}^{(2n)}(x)}
とおく。ここで、f (k ) は f の k 階微分 を表す。
補題 1 ：Fn (0) は整数である。
証明 ：fn (x ) の定義式を二項展開 すると、
f
n
(
x
)
=
1
n
!
{
a
n
x
n
−
(
n
1
)
a
n
−
1
b
x
n
+
1
+
(
n
2
)
a
n
−
2
b
2
x
n
+
2
−
⋯
+
(
−
1
)
n
b
n
x
2
n
}
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left\{a^{n}x^{n}-{\binom {n}{1}}a^{n-1}bx^{n+1}+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}x^{n+2}-\cdots +(-1)^{n}b^{n}x^{2n}\right\}}
fn (k ) (x ) に x = 0 を代入することを考える。
k < n のときは、fn (k ) (x ) の各項は全て1次以上だから、fn (k ) (0) = 0。
n ≤ k ≤ 2n のときは、x = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、
f
n
(
k
)
(
0
)
=
1
n
!
{
(
−
1
)
k
−
n
(
n
k
−
n
)
a
2
n
−
k
b
k
−
n
x
k
}
(
k
)
=
(
−
1
)
k
−
n
k
!
n
!
(
n
k
−
n
)
a
2
n
−
k
b
k
−
n
{\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\frac {1}{n!}}\left\{(-1)^{k-n}{\binom {n}{k-n}}a^{2n-k}b^{k-n}x^{k}\right\}^{(k)}=(-1)^{k-n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {n}{k-n}}a^{2n-k}b^{k-n}}
となる。
n ≤ k ≤ 2n より
k
!
n
!
{\displaystyle {\frac {k!}{n!}}}
a 2n −k , b k −n fn (k ) (0) は整数である。
ゆえに、fn (k ) (0) の和 ・差 である Fn (0) は整数である。
補題 2 ：Fn (π ) = Fn (0)
証明 ：
π
=
a
b
{\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}}
fn (π − x ) = fn (x ) 、この両辺を k 階微分 すると、連鎖律 （合成関数の微分法則）より、
(
−
1
)
k
f
n
(
k
)
(
π
−
x
)
=
f
n
(
k
)
(
x
)
{\displaystyle (-1)^{k}f_{n}^{(k)}(\pi -x)=f_{n}^{(k)}(x)}
が（正確には数学的帰納法 により）分かる。k = 0, 2, 4, …, 2n を代入して得られる式の総和を取ると、
F
n
(
π
−
x
)
=
F
n
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(\pi -x)=F_{n}(x)}
を得る。x = 0 を代入すると、補題の式が得られる。
補題 3 ：
∫
0
π
f
n
(
x
)
sin
x
d
x
=
2
F
n
(
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx=2F_{n}(0)}
証明 ：deg fn = 2n より fn (2n +2) (x ) = 0、ゆえに、
F
n
″
(
x
)
+
F
n
(
x
)
=
f
n
(
x
)
{\displaystyle F''_{n}(x)+F_{n}(x)=f_{n}(x)}
これと、積の微分法、三角関数の微分の公式（微分法#概要 参照）を用いると、
(
F
n
′
(
x
)
sin
x
−
F
n
(
x
)
cos
x
)
′
=
f
n
(
x
)
sin
x
{\displaystyle (F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x)'=f_{n}(x)\sin x}
を得る。微分積分学の基本定理 より、
∫
0
π
f
n
(
x
)
sin
x
d
x
=
[
F
n
′
(
x
)
sin
x
−
F
n
(
x
)
cos
x
]
0
π
=
F
n
(
π
)
+
F
n
(
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx={\bigg [}F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\bigg ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0)}
となる。最後の等式では、π が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2Fn (0) に等しい。
結び ： 0 < x < π の範囲では fn (x ) > 0 かつ sin x > 0 である（π は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意）。ゆえに、fn (x ) sin x > 0, 補題 3 より Fn (0) > 0 である。次に、この Fn (0) を上から評価する。
x
(
π
−
x
)
=
−
(
x
−
π
2
)
2
+
(
π
2
)
2
≤
(
π
2
)
2
{\displaystyle x(\pi -x)=-\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}
より、
f
n
(
x
)
=
b
n
n
!
{
x
(
π
−
x
)
}
n
≤
b
n
n
!
(
π
2
)
2
n
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {b^{n}}{n!}}\left\{x(\pi -x)\right\}^{n}\leq {\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}}
を得る。0 ≤ x ≤ π で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、
F
n
(
0
)
=
1
2
∫
0
π
f
n
(
x
)
sin
x
d
x
≤
1
2
∫
0
π
b
n
n
!
(
π
2
)
2
n
×
1
d
x
=
b
n
n
!
(
π
2
)
2
n
+
1
{\displaystyle F_{n}(0)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx\leq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n}\times 1\,dx={\frac {b^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2n+1}}
ここで、自然数 n は任意である。一般に、
lim
n
→
∞
p
n
n
!
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p^{n}}{n!}}=0}
n に対して 0 < Fn (0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。（証明終）
ハロルド・ジェフリーズ は、この証明法はメアリー・カートライト （英語版 ）
π
2
=
b
a
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {b}{a}}}
n に対し、
I
n
(
x
)
=
∫
−
1
1
(
1
−
z
2
)
n
cos
x
z
d
z
{\displaystyle I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos xz\,dz}
と置く。このとき、
b
2
n
+
1
n
!
I
n
(
π
2
)
{\displaystyle {\frac {b^{2n+1}}{n!}}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}
n に対し、
0
<
b
2
n
+
1
I
n
(
π
2
)
n
!
<
1
{\displaystyle 0<{\frac {b^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!}}<1}
編集
ニーベン・インケリの定理より、s 2 0 でない有理数ならば、cos s は無理数である。cos π = −1 は有理数であるから、π 2 ≠ 0[ 7] π
Zhou–Markov は π [ 7]
ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す[ 7]
整数 n ≥ 0 に対して
g
n
(
x
)
=
(
r
2
x
2
−
x
4
)
n
n
!
{\displaystyle g_{n}(x)={\frac {(r^{2}x^{2}-x^{4})^{n}}{n!}}}
とおき
I
n
=
∫
0
r
g
n
(
x
)
sin
(
r
−
x
)
d
x
,
J
n
=
∫
0
r
x
g
n
(
x
)
cos
(
r
−
x
)
d
x
,
K
n
=
∫
0
r
x
2
g
n
(
x
)
sin
(
r
−
x
)
d
x
,
L
n
=
∫
0
r
x
3
g
n
(
x
)
cos
(
r
−
x
)
d
x
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{r}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\J_{n}&=\int _{0}^{r}xg_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\K_{n}&=\int _{0}^{r}x^{2}g_{n}(x)\sin(r-x)dx,\\L_{n}&=\int _{0}^{r}x^{3}g_{n}(x)\cos(r-x)dx,\\\end{aligned}}}
とおく。n = 0 のときの積分をすると
I
0
=
J
0
=
1
−
cos
r
,
K
0
=
r
2
−
2
−
2
cos
r
,
L
0
=
3
K
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}&=J_{0}=1-\cos r,\\K_{0}&=r^{2}-2-2\cos r,\\L_{0}&=3K_{0},\\\end{aligned}}}
である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、n > 0 に対して次の漸化式を得る。
I
n
=
4
L
n
−
1
−
2
r
2
J
n
−
1
,
J
n
=
(
4
n
+
1
)
I
n
−
2
r
2
K
n
−
1
,
K
n
=
−
(
4
n
+
2
)
J
n
+
2
r
2
L
n
−
1
,
L
n
=
(
4
n
+
3
)
K
n
+
2
n
r
2
I
n
−
2
r
4
K
n
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=4L_{n-1}-2r^{2}J_{n-1},\\J_{n}&=(4n+1)I_{n}-2r^{2}K_{n-1},\\K_{n}&=-(4n+2)J_{n}+2r^{2}L_{n-1},\\L_{n}&=(4n+3)K_{n}+2nr^{2}I_{n}-2r^{4}K_{n-1}.\\\end{aligned}}}
これらより、I n , J n , K n , L n
u
n
(
R
)
+
v
n
(
R
)
cos
r
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{n}(R)+v_{n}(R)\cos r\end{aligned}}}
の形になる。ただし、u n ( R )v n ( R )R = r 2 2 n + 1 である。
I
m
=
J
m
=
K
m
=
L
m
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{m}=J_{m}=K_{m}=L_{m}=0\\\end{aligned}}}
だと仮定すると
I
0
=
J
0
=
K
0
=
L
0
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}=J_{0}=K_{0}=L_{0}=0\\\end{aligned}}}
である。ところが
2
I
0
+
K
0
=
r
2
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}2I_{0}+K_{0}=r^{2}\neq 0\\\end{aligned}}}
なので矛盾である。したがって、I n , J n , K n , L n M n
さて
R
=
r
2
=
a
b
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}R=r^{2}={a \over b}\neq 0\\\end{aligned}}}
が有理数で
cos
r
=
p
q
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos r={p \over q}\\\end{aligned}}}
も有理数だと仮定する。すると、qb 2n + 1 M n n → ∞n qb 2n + 1 M n M n
編集
正の整数をnとし、cm を整数とするとき
f
(
x
)
=
x
n
(
1
−
x
)
n
n
!
=
1
n
!
∑
m
=
n
2
n
c
m
x
m
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{m=n}^{2n}c_{m}x^{m}}
とする。0<x<1において
0
<
f
(
x
)
<
1
n
!
{\displaystyle 0<f(x)<{\frac {1}{n!}}}
となる。…(1)
πが有理数であると仮定し、
π
2
=
a
b
{\displaystyle \pi ^{2}={\tfrac {a}{b}}}
G
(
x
)
=
b
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
π
2
n
−
2
k
f
(
2
k
)
(
x
)
{\displaystyle G(x)=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)}
とする。
m<nまたは2n<mのとき
f
(
m
)
(
0
)
=
0
{\displaystyle f^{(m)}(0)=0}
である。
n≦m≦2nのとき
f
(
m
)
(
0
)
=
m
!
c
m
n
!
=
m
(
m
−
1
)
⋅
⋅
⋅
(
n
+
1
)
c
m
{\displaystyle f^{(m)}(0)={\tfrac {m!c_{m}}{n!}}=m(m-1)\cdot \cdot \cdot (n+1)c_{m}}
なので、整数である。
それゆえ、任意のmに対して
f
(
m
)
(
0
)
{\displaystyle f^{(m)}(0)}
f(x)=f(1-x)なので両辺を微分することにより
f
′
(
x
)
=
−
f
′
(
1
−
x
)
{\displaystyle f'(x)=-f'(1-x)}
f
″
(
x
)
=
f
″
(
1
−
x
)
{\displaystyle f''(x)=f''(1-x)}
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle \cdot \cdot \cdot }
である。一般に
f
(
m
)
(
x
)
=
f
(
m
)
(
1
−
x
)
{\displaystyle f^{(m)}(x)=f^{(m)}(1-x)}
のとき
f
(
m
+
1
)
(
x
)
=
−
f
(
m
+
1
)
(
1
−
x
)
{\displaystyle f^{(m+1)}(x)=-f^{(m+1)}(1-x)}
f
(
m
+
2
)
(
x
)
=
f
(
m
+
2
)
(
1
−
x
)
{\displaystyle f^{(m+2)}(x)=f^{(m+2)}(1-x)}
すなわち
f
(
m
)
(
x
)
=
(
−
1
)
m
f
(
m
)
(
1
−
x
)
{\displaystyle f^{(m)}(x)=(-1)^{m}f^{(m)}(1-x)}
である。
よって
f
(
2
m
)
(
x
)
=
f
(
2
m
)
(
1
−
x
)
{\displaystyle f^{(2m)}(x)=f^{(2m)}(1-x)}
なので
G
(
1
−
x
)
=
b
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
π
2
n
−
2
k
f
(
2
k
)
(
1
−
x
)
=
b
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
π
2
n
−
2
k
f
(
2
k
)
(
x
)
=
G
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}G(1-x)&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(1-x)\\&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)\\&=G(x).\end{aligned}}}
G(0)=G(1)なのでG(1)も整数である。また
(
G
′
(
x
)
sin
π
x
−
π
G
(
x
)
cos
π
x
)
′
=
(
G
″
(
x
)
+
π
2
G
(
x
)
)
sin
π
x
=
b
n
π
2
n
+
2
f
(
x
)
sin
π
x
=
π
2
a
n
sin
π
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(G'(x)\sin \pi x-\pi G(x)\cos \pi x)'&=(G''(x)+\pi ^{2}G(x))\sin \pi x\\&=b^{n}\pi ^{2n+2}f(x)\sin \pi x\\&=\pi ^{2}a^{n}\sin \pi xf(x)\\\end{aligned}}}
となる。さらに
π
∫
0
1
a
n
sin
π
x
f
(
x
)
d
x
=
G
′
(
x
)
sin
π
x
π
−
G
(
x
)
cos
π
x
|
0
1
=
G
(
0
)
+
G
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx&={{\tfrac {G'(x)\sin \pi x}{\pi }}-G(x)\cos \pi x{\Bigg \vert }\,}_{0}^{1}\\&=G(0)+G(1)\\\end{aligned}}}
となり、これは整数である。(1)より十分にnが大きいとき
0
<
π
∫
0
1
a
n
sin
π
x
f
(
x
)
d
x
<
π
a
n
n
!
<
1
{\displaystyle 0<\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx<{\tfrac {\pi a^{n}}{n!}}<1}
となる。
これは矛盾である。
有理数 x に対する値 y = tan x 0 または無理数であることから、その対偶を取れば、0 でない有理数 y に対する値 x = arctan y は無理数であることがわかる。よって、π = 4 arctan 1 は無理数である[ 7]
円周率の定義は、三角関数 cos x が 0 を取るような x > 0 a ≠ 0 に対する cos a は超越数である。リンデマンの定理の系の対偶として、cos a が代数的数であるとき、a は a = 0 か超越数である。円周率の定義とリンデマンの定理の系の対偶より π は超越数であり、無理数である。
ルジャンドルは π 2 π の累乗 は全て無理数であることが知られている（実は円周率は超越数であり，（非零有理数をべき指数とする）超越数のべき乗も超越数になるので（非零有理数をべき指数とする）円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である）。実際、ドイツのフェルディナント・フォン・リンデマン は、1882年 に π が超越数 であることを示した。これは、さらに一般的なリンデマンの定理 [ 8] ネイピア数 e , 2の自然対数 log 2 , 1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、ユーリイ・ネステレンコ （英語版 ） π と eπ Q 代数的独立 であることを示した[ 9] π が無理数であることや超越数であることを内包している。
これらの進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、その（任意の記数法において）小数展開の数字列が十分に「乱数的」であるといえるか（「真の乱数」による乱数列と、何か異なった性質がありはしないか）、例えば正規数 であるか、という問題は（そうであろうとは一般に信じられてはいるが）いまだに未解決である。また、π π π + e のような単純な定数 についても、無理数であるかどうかも分かっていないようなものがある。
^ 小平邦彦 は、晩年のエッセイの中で「最近初めて証明を読んだ」と記している（小平 p. 79）。『数学セミナー 』2004年12月号の特集「知っているようで知らない証明に再挑戦」で「π の超越性 」が取り上げられた。^ 歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 pdf ファイル
^ Ivan Niven, A simple proof that π is irrational , Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1947), 509. 論文の PDF ファイル
^ Jeffreys p.268
^ Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, A proof that π 2 is irrational , Journal of the Osaka Institute of Science and Technology 1 (1949), 147-148.
^ 初等教育 においては、円周率の定義は「円周長の直径に対する比率」と学ぶ。この定義は初学者には受け入れ易いものの、現代数学の観点からは、曲線 の長さの定義に依存しているという問題がある。そのため、現代数学においては、別の定義が採用されることが多い。円周率#定義 も参照のこと。どの定義も結果的に同じ定数を定めることが従う。^ a b c d L. Zhou and L. Markov, Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values , arXiv :0911.1933 .
^ 1885年 にカール・ワイエルシュトラス が証明を簡潔にしたので、リンデマン–ワイエルシュトラスの定理 とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。^ 塩川 p. 93.
M. Aigner and G. M. Ziegler, Proofs from the Book , 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600
P. Beckmann, History of Pi , 3rd edition, St. Martin's Press, 1971 ISBN 0312381859
E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History , Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1996 ISBN 0387945512
H. Jeffreys, Scientific Inference , 3rd edition, Cambridge University Press, 1973 ISBN 0521084466
小平邦彦 編『数学の学び方』岩波書店 、1987年 ISBN 4000055119 塩川宇賢 『無理数と超越数 』森北出版、1999年3月30日。ISBN 4-627-06091-2 。http://www.morikita.co.jp/shoshi/ISBN978-4-627-06091-3.html 。 
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx={\bigg [}F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\bigg ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ac72a5cd8c10484999e764e3e33690e5f6ce81)
