複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値(しゅち、英: principal value)とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。
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例えば、 の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。
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オイラーの公式から、 が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点 の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 から反時計回りに ラジアンだけ回転した点が になるが、ここからさらに 回転すると、また になる。したがって も の値であると考えることができ、また だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。
しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として
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と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。
ここで k = 0 に相当する分枝を主枝(英語版)、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を
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と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。
対数関数の例は上述したが、その形は
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である。ここで が多価である。この偏角の取りうる範囲を に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの(範囲の限定された)偏角を、大文字を使って と書く。関数の定義に の代わりに を使うことで、対数関数が一価になり、
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と書くことができるようになる。
を複素数( )とするときの指数 について考えるとき、一般には zα を eα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。
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複素数 の平方根の主値は以下のようになる。
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ここで偏角は の範囲である。
atan と atan2 の比較
ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
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逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
- atan2: の範囲
- atan: の範囲