一次方程式

数学における一次方程式（いちじほうていしき、英語: first-degree polynomial equation, linear equation）は、一次多項式の解を求めるものである。

一変数の場合

$a$ , $b$ は実数の定数とするとき、

ax+b=0

または

ax=-b

なる形をとる。後者の形の場合は、 $a$ ≠ 0 ならば（ $a$ ⁻¹ = 1/ $a$ が存在するから）一意的に解けて $x$ = − $b$ / $a$ がその解である。 $a$ = 0 のとき、 $b$ ≠ 0 ならば不能、 $b$ = 0 ならば不定である。

二変数の場合

→詳細は「一次関数」を参照

一般形は

ax+by+c=0

で、これは {（ $x$ , $y$ ）| $ax$ + $by$ + $c$ = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、

y=mx+b

なる形で扱うことができる。これはふつう、 $x$ を自由変数とし $y$ を $x$ の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。

三変数および更に多変数の場合

→詳細は「超平面」を参照

三変数の場合

ax+by+cz=d

はユークリッド空間 $R$ ³ における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル $n$ := ( $a$ , $b$ , $c$ ) に直交し、平面上の一点 $x$ ₀ が与えられれば

n(x-x_{0})=0

なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の $n$ -次元で考えれば、 $R$ ^$n$ 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち $n$ -変数の一次方程式

a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b

は超平面の方程式である。一次形式

L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は

\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L

の形に書くこともできる。

更なる一般化

一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 $K$ であるような一次方程式が拡大体 $L$ / $K$ で解を持つならば、既に $K$ において解を持ち、 $K$ における一般解がそのまま $L$ における一般解になる。

→「線型方程式系」も参照

$A$ が行列、 $x$ がベクトル値の変数、 $b$ を定ベクトルとするとき、一次方程式

Ax=b

は $A$ が正則ならば解くことができて $x$ = $A$ ⁻¹ $b$ となる。

より一般に、集合 $X$ に作用素の集合 $T$ が与えられているとき、 $X$ -値の変数 $x$ に対して作用 τ ∈ $T$ および定元 $b$ ∈ $X$ を与えれば、方程式

\tau x=b

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ⁻¹が存在すれば $x$ = τ⁻¹ $b$ となる。特に $T$ が群 $G$ で $X$ が $G$ -加群 $M$ のとき、

gx+b=0\quad (g\in G,b\in M)

なども意味を持つ。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Linear Equation". mathworld.wolfram.com (英語).