数学 において線型方程式系 （せんけいほうていしきけい）とは、同時に成立する複数の線型方程式 （一次方程式）の組のことである。線形 等の用字・表記の揺れについては線型性 を参照。
複数の方程式 の組み合わせを方程式系 連立方程式 一次方程式系 、連立線型方程式 、連立一次方程式 などとも呼ぶこともある。
以下の式は、2 変数の線型方程式系の例である。
{
x
+
2
y
=
5
2
x
+
3
y
=
8
{\displaystyle {\begin{cases}x+2y=5\\2x+3y=8\end{cases}}}
左側の記号（中括弧 ）は、特に必要というわけではないが、方程式系であることを明示するためによく用いられる。
この式において、2 つの線型方程式を同時に満たす (x y
与えられた線型方程式系に属するすべての方程式を同時に満たすような変数の値のことを線型方程式系の解 といい、線型方程式系の解を求めることを線型方程式系を解く という。
線型方程式系が与えられたとき、変数の数と方程式の本数を比べれば、その解は大まかに言って
変数の数の方が多いならば、（変数の数） − （方程式の本数）の分だけ変数を自由に定めることができ、解が一つに定まらない。
変数の数と方程式の本数が一致するならば、解が存在し、一つに定まる。
方程式の本数の方が多いならば、制約が過剰なので、解が存在しない。 のようになっていると考えることができる。また、変数の数が多いときには、いくつかの変数を勝手な値をとることができる定数と思ってやることで、変数の数と方程式の本数が同じであると考えることができる。したがって、普段は方程式の数と変数の数が一致する方程式系を考えることが多い。
解法でよく知られたものとして以下の方法がある。いずれの方法も変数を減らしていき、一変数の方程式に帰着させることによって解く方法である。
代入法
いずれかの方程式を一つの変数について解き、他の方程式に代入 することによって、変数を減らし、方程式を簡単にしてから解く方法。
等値法（等置法）
それぞれの方程式を、特定の変数について解いたときの値を等しいとして、変数を消去する方法。代入法の一種とも言える。
加減法
方程式の両辺を定数倍したり、足し引きすることによって、変数を消去 する方法。
n m mn a i j i m j n m b 1 , b 2 , ..., b m
{
a
1
,
1
x
1
+
a
1
,
2
x
2
+
⋯
+
a
1
,
n
x
n
=
b
1
a
2
,
1
x
1
+
a
2
,
2
x
2
+
⋯
+
a
2
,
n
x
n
=
b
2
⋮
⋮
⋮
a
m
,
1
x
1
+
a
m
,
2
x
2
+
⋯
+
a
m
,
n
x
n
=
b
m
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.}
の形に表される。これを、記法を改めて
[
a
1
,
1
a
1
,
2
⋯
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
⋯
a
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
a
m
,
2
⋯
a
m
,
n
]
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
=
[
b
1
b
2
⋮
b
m
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}
と表示したり、あるいはさらに行列 やベクトル を用いて、A a i j x x j b b i
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
と記述することができる（歴史的には、このような表記法を考えることで行列の概念が作り出されたのである）。ここで A 係数行列 、x b 0 （すべての成分が 0）である場合に、この線型方程式は斉次 （あるいは同次 、homogeneous ）であるといい、そうでないとき非斉次 （あるいは非同次 、inhomogeneous ）であるという。非斉次の方程式 A x b b 0 と置いて得られる斉次方程式 A x 0 はもとの非斉次方程式に随伴 する斉次方程式であるという（随伴という代わりに、同伴 する、付随 する、対応 する、伴うなどともいう）。
V W ベクトル空間 とし、変数ベクトル x V W b A
A
x
=
b
{\displaystyle Ax=b}
を考える。また、行列 A 線型写像 を f A V W b f A f A −1 (b f A −1 は一般には写像にはならず、逆対応 の意味である）を記述する問題であると捉えることができる。
本項目は線型方程式の有限系を考察対象とするため、V W V W 線型方程式 の項を参照されたい。 方程式系が斉次形 (b 0 ) ならば、この方程式は常に零ベクトル x 0 を解に持つ。これを斉次方程式の自明な解 とよぶ。また斉次形ならば方程式の解の重ね合わせ が可能である。つまり、 x y x y f A −1 (0 ) は V 線型部分空間 をなし、方程式系の解ベクトル空間 あるいは省略して解空間 と呼ばれる。斉次方程式の解空間 f A −1 (0 ) は f A A 核 と呼ばれるもので、斉次方程式系の解空間が部分空間をなすという事実は核
ker
A
=
ker
f
A
:=
x
∈
V
∣
A
x
=
0
}
{\displaystyle \ker A=\ker f_{A}:=x\in V\mid Ax=\mathbf {0} \}}
が V f A 退化次数 nul f A n f A n 基本解 ） x 1 , x 2 , ..., x n n パラメータ ）c 1 , c 2 , ..., c n
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
{\displaystyle c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}}
の形に表されると言い換えることができる。
方程式系が非斉次 (b 0 ) であるとき、b f A 像 に含まれていなければ方程式系の解は存在せず、b A f A 全射 ならば、任意の b W a 1 , a 2 , ..., a k A a 1 , a 2 , ..., a k b f A a 1 , a 2 , ..., a k b 階数 を用いれば、行列 A B a 1 , a 2 , ..., a k b rank A rank B
非斉次の線型方程式系が2つの解 x y x y f A A x y 0 をみたす。したがって、非斉次の線型方程式系の二つの解は随伴する斉次方程式系の解を加える分の違いしか持たない。ゆえに非斉次方程式系の解の一つ（特殊解）と随伴斉次方程式系の一般解により、非斉次方程式のすべての解を記述することができる。つまり、 x 0 が A x b
x
0
+
ker
f
A
:=
x
0
+
v
∈
V
∣
A
v
=
0
}
{\displaystyle x_{0}+\ker f_{A}:=x_{0}+v\in V\mid Av=\mathbf {0} \}}
で与えられる。これは ker A アファイン空間 であり、やはり方程式系の解空間 と呼ばれる。随伴斉次方程式の基本解 x 1 , x 2 , ..., x n
x
0
+
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
n
x
n
{\displaystyle x_{0}+c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}}
の形にすべての解を書くことができる。
線型方程式 A x b f A 単射 であることを意味し、これは ker A 0 } であることと同値である。する。またこれは、階数と退化次数の関係から、f A (full rank) であるとも言い換えられる。またこのとき、さらに V W A
方程式の数と変数の数が一致する場合において、A 正則行列 ならば、A 逆行列 と呼ばれる行列 A −1 を用いて、この線型方程式系の解を
x
=
A
−
1
b
{\displaystyle x=A^{-1}b}
と求めることが（論理的には）可能である。しかし、逆行列を計算することは一般に困難であり、数値計算的には別の解法が各種提案されている。
以下の 2 つは、線型代数学 に重要な解法 である。
実用上に出てくる問題 は、問題の規模（方程式の本数や変数の数）が小さく、係数行列 A 密 なものか、問題の規模は大きいものの、行列 A 疎 でなおかつ性質があるものが多い(疎行列 )。また行列 A b
A
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
[
x
1
x
2
]
=
[
b
1
b
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}}
の解は次のようになる。
a
11
a
22
−
a
12
a
21
≠
0
{\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0}
[
x
1
x
2
]
=
1
a
11
a
22
−
a
12
a
21
[
a
22
b
1
−
a
12
b
2
−
a
21
b
1
+
a
11
b
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\frac {1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}{\begin{bmatrix}a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}\\-a_{21}b_{1}+a_{11}b_{2}\end{bmatrix}}}
である。
a
11
a
22
−
a
12
a
21
=
0
{\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0}
|
a
11
|
2
+
|
a
12
|
2
≠
0
{\displaystyle |a_{11}|^{2}+|a_{12}|^{2}\neq 0}
[
a
11
a
12
k
a
11
k
a
12
]
[
x
1
x
2
]
=
[
b
1
b
2
]
,
k
=
a
11
¯
a
21
+
a
12
¯
a
22
|
a
11
|
2
+
|
a
12
|
2
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\ka_{11}&ka_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}},\quad k={\frac {{\overline {a_{11}}}a_{21}+{\overline {a_{12}}}a_{22}}{|a_{11}|^{2}+|a_{12}|^{2}}}}
と書けて、
b
2
≠
k
b
1
{\displaystyle b_{2}\neq kb_{1}}
b
2
=
k
b
1
{\displaystyle b_{2}=kb_{1}}
[
x
1
x
2
]
=
b
1
|
a
11
|
2
+
|
a
12
|
2
[
a
11
¯
a
12
¯
]
+
t
[
−
a
12
a
11
]
,
(
t
∈
C
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\frac {b_{1}}{|a_{11}|^{2}+|a_{12}|^{2}}}{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}\\{\overline {a_{12}}}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}-a_{12}\\a_{11}\end{bmatrix}},\quad (t\in \mathbb {C} )}
となる。
|
a
11
|
2
+
|
a
12
|
2
=
0
{\displaystyle |a_{11}|^{2}+|a_{12}|^{2}=0}
[
0
0
a
21
a
22
]
[
x
1
x
2
]
=
[
b
1
b
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}}
であり、
|
a
21
|
2
+
|
a
22
|
2
≠
0
{\displaystyle |a_{21}|^{2}+|a_{22}|^{2}\neq 0}
b
1
≠
0
{\displaystyle b_{1}\neq 0}
b
1
=
0
{\displaystyle b_{1}=0}
[
x
1
x
2
]
=
b
2
|
a
21
|
2
+
|
a
22
|
2
[
a
21
¯
a
22
¯
]
+
t
[
−
a
22
a
21
]
,
(
t
∈
C
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\frac {b_{2}}{|a_{21}|^{2}+|a_{22}|^{2}}}{\begin{bmatrix}{\overline {a_{21}}}\\{\overline {a_{22}}}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}-a_{22}\\a_{21}\end{bmatrix}},\quad (t\in \mathbb {C} )}
となる。
|
a
21
|
2
+
|
a
22
|
2
=
0
{\displaystyle |a_{21}|^{2}+|a_{22}|^{2}=0}
|
b
1
|
2
+
|
b
2
|
2
≠
0
{\displaystyle |b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}\neq 0}
b
1
=
b
2
=
0
{\displaystyle b_{1}=b_{2}=0}
[
x
1
x
2
]
=
s
[
1
0
]
+
t
[
0
1
]
,
(
s
,
t
∈
C
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=s{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},\quad (s,\,t\in \mathbb {C} )}
となる。
線型方程式系は、数学において伝統的な問題である。またさまざまな応用がある。
