原文と比べた結果、この記事には多数の(または内容の大部分に影響ある)誤訳 があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。
数学において、ホッジスター作用素 (ホッジスターさようそ、Hodge star operator )、もしくは、ホッジ双対 (ホッジそうつい、Hodge dual )は、ウィリアム・ホッジ により導入された線型写像 である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた 内積空間 の外積代数 の上で定義されるk -ベクトルのなす空間から(n − k ) -ベクトルのなす空間への線形同型である。
他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドル への作用に拡張することができる。
たとえば余接束 の外積代数(すなわち、多様体上の微分形式の空間)に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス=ド・ラーム作用素 を定義し、コンパクト なリーマン多様体 上の微分形式 のホッジ分解 を導くことができる。
V を向きつけられた内積空間とし、n をその次元とする。0 ≤ k ≤ n をみたす整数 k に対し、ホッジスター作用素とは、k -ベクトル(英語版 ) (k -vectors) から (n − k ) -ベクトル空間への同型写像のことである。この写像の k -ベクトルの像は、k -ベクトルのホッジ双対 と呼ばれる。k -ベクトルの空間および(n − k ) -ベクトルの空間の次元はともに二項係数
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}
である。同じ体の上の同じ次元の 2つのベクトル空間 は常に同型 であるが、標準的方法で同型となるわけではない。しかし、この場合のホッジ双対は、内積とベクトル空間の向き付けを利用することによって、代数における二項係数のパターンを反映した同型を自然にさだめる。またこれによって k -ベクトル空間の内積を導く。自然な定義とは、この双対関係が理論の幾何学的な役割を果たすことを意味する。
最初の興味深い例は、3次元ユークリッド空間 V である。二項係数は 1, 3, 3, 1であり、ホッジ双対は、2つの 3次元空間、V 自身とV から導かれる 2つのベクトルのウェッジ積 の空間の間の同型を確立する。詳細は、#例 の節を参照。この場合には、まさに伝統的なベクトル解析 であるクロス積 (外積)である。クロス積は 3次元でのみ定義されるのに対し、ホッジ双対は一般次元で定義される。
非退化 な対称双線型形式 (以下ではこれを内積 とよぶ)を持つベクトル空間 V 上のホッジスター作用素 (Hodge star operator) は、V の外積代数 上の線型作用素であり、0 ≤ k ≤ n に対し、k -ベクトルを (n − k ) -ベクトルに写すものである。
k -ベクトル上の内積 ⟨•, •⟩ は、V 上の内積から、 k -ベクトル α = α 1 ∧ … ∧ αk と β = β 1 ∧ … ∧ βk に対して、
⟨
α
,
β
⟩
=
det
(
⟨
α
i
,
β
j
⟩
)
{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det {\bigl (}\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle {\bigr )}}
と定め、これを双線形に拡張することで得られる。
n -ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位n ベクトル ω には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより V 上の向き付け が決まる。
ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの k -ベクトル α , β が与えられたとき、
α
∧
(
⋆
β
)
=
⟨
α
,
β
⟩
ω
{\displaystyle \alpha \wedge (\star \beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }
である。
ω = e 1 ∧ … ∧ en となるように順序付けされた直交基底 (e 1 , ..., en ) が与えられると、
⋆
(
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
k
)
=
e
k
+
1
∧
e
k
+
2
∧
⋯
∧
e
n
{\displaystyle \star (e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dotsb \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dotsb \wedge e_{n}}
と計算できる。
より一般に偶置換 (i 1 , i 2 , ..., in ) に対しても
⋆
(
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
)
=
e
i
k
+
1
∧
e
i
k
+
2
∧
⋯
∧
e
i
n
{\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{n}}}
となることが分かる。
インデックス記法を使うと、ホッジ双対は、n -次元完全反対称レヴィ・チヴィタテンソル (Levi-Civita tensor) と k -形式の添字の縮約により得られる。これはレヴィ・チヴィタの記号 から|det g |1 / 2 だけずれている。ここでg を内積(計量テンソル )とした。ここで行列式は、たとえばローレンツ多様体 の接空間のようにg が正定値でない場合もあるので絶対値をとる必要がある。
このように[1] 、
(
⋆
η
)
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
−
k
=
1
k
!
η
j
1
,
…
,
j
k
|
det
g
|
ε
j
1
,
…
,
j
k
,
i
1
,
…
,
i
n
−
k
{\displaystyle (\star \eta )_{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\dotsc ,j_{k}}{\sqrt {|\det g|}}\,\varepsilon _{j_{1},\dotsc ,j_{k},i_{1},\dotsc ,i_{n-k}}}
と書く。ここに η は k の任意の反対称テンソル である。レヴィ・チヴィタテンソル同じ内積 g を使い、レヴィ・チヴィタテンソル の定義と同様に、インデックスを上げたり下げたりする (英語版 ) (indices are raised and lowered) 。任意のテンソルを同じように表示できるが、結果は反対称である。これはテンソルの対称な成分が完全反対称レヴィ・チヴィタ記号との縮約により消去されるからである。
スター作用素のよく知られた例は、n = 3 次元の場合で、このとき 3 次元のベクトルと 3 × 3 歪対称行列 の対応と見なすことができる。これはベクトル解析 において暗に使われていて、たとえば、2つのベクトルのウェッジ積からクロス積 を作りだすことができる。特に、ユークリッド空間 R 3 では、容易に、
⋆
d
x
=
d
y
∧
d
z
{\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆
d
y
=
d
z
∧
d
x
{\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
⋆
d
z
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であることが分かる。ここに dx , dy , dz は R 3 上の標準の直交な微分 1 -形式 である。3次元におけるホッジ双対は、明らかにクロス積とウェッジ積を関連付ける。微分幾何学へ限定しない詳細な説明は、パラグラフを改める。
ホッジ双対を3次元へ適用すると、軸性ベクトル と 2-ベクトル (英語版 ) (bivector) の間の同型 の間の同型、つまり軸性ベクトル a と 2 -ベクトル A を対応させることができる。すなわち、[2]
A
=
⋆
a
a
=
⋆
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\star {\boldsymbol {a}}\qquad {\boldsymbol {a}}=\star {\boldsymbol {A}}}
が成り立つ。ここに、⋆ は双対作用素を表す。これらの双対関係は、実、および複素クリフォード代数 Cl 3 (R ) の単位擬スカラー (英語版 ) (Unit pseudoscalar) の作用により以下のように記述できる[3] 。i = e 1 e 2 e 3 (ベクトル {e ℓ } は 3次元ユークリッド空間の中での直交基底である)は、次の関係式に従う[4] 。
A
=
a
i
a
=
−
A
i
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {a}}i\quad {\boldsymbol {a}}=-{\boldsymbol {A}}i}
ベクトルの双対は i をかけることにより得ることができる。これは次のように代数の幾何積 (英語版 ) (geometric product) の性質を使って説明できる。
a
i
=
(
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
a
3
e
3
)
e
1
e
2
e
3
=
a
1
e
2
e
3
(
e
1
)
2
+
a
2
e
3
e
1
(
e
2
)
2
+
a
3
e
1
e
2
(
e
3
)
2
=
a
1
e
2
e
3
+
a
2
e
3
e
1
+
a
3
e
1
e
2
=
⋆
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}i&=(a_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}({\boldsymbol {e_{1}}})^{2}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}({\boldsymbol {e}}_{2})^{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}({\boldsymbol {e}}_{3})^{2}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}\\&=\star {\boldsymbol {a}}\end{aligned}}}
また、{e ℓ e m } により張られる双対空間においても、
A
i
=
(
A
1
e
2
e
3
+
A
2
e
3
e
1
+
A
3
e
1
e
2
)
e
1
e
2
e
3
=
A
1
e
1
(
e
2
e
3
)
2
+
A
2
e
2
(
e
3
e
1
)
2
+
A
3
e
3
(
e
1
e
2
)
2
=
−
(
A
1
e
1
+
A
2
e
2
+
A
3
e
3
)
=
−
(
⋆
A
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}i&=(A_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}\\&=A_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}({\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}({\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1})^{2}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}\\&=-(A_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{3})\\&=-(\star {\boldsymbol {A}})\end{aligned}}}
である。ここでは次の関係式
(
e
1
e
2
)
2
=
e
1
e
2
e
1
e
2
=
−
e
1
e
2
e
2
e
1
=
−
1
{\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}=-1}
および、
i
2
=
(
e
1
e
2
e
3
)
2
=
e
1
e
2
e
3
e
1
e
2
e
3
=
e
1
e
2
e
3
e
3
e
1
e
2
=
e
1
e
2
e
1
e
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-1}
を用いた。
これらの双対 ⋆ と i 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、クロス積 a = u × v として生成された軸性ベクトルを、2 -ベクトルに値を持ち 2つの極(つまり、軸性ではない)ベクトル u と v の外積 A = u ∧ v へと関係付けることに適用される。2つの積は、行列式 を使う同じ方法で、記法 e ℓm = e ℓ e m を使い、次のように書き表すことができる。
a
=
u
×
v
=
|
e
1
e
2
e
3
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
|
,
A
=
u
∧
v
=
|
e
23
e
31
e
12
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
|
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{23}&{\boldsymbol {e}}_{31}&{\boldsymbol {e}}_{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}
これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、ℓ, m , n が巡回的(cyclic) な関係式
⋆
e
ℓ
=
e
ℓ
i
=
e
ℓ
e
1
e
2
e
3
=
e
m
e
n
{\displaystyle \star {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{\ell }i={\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}}
と、再び ℓ, m , n が巡回的な関係式
⋆
(
e
ℓ
e
m
)
=
−
(
e
ℓ
e
m
)
i
=
−
(
e
ℓ
e
m
)
e
1
e
2
e
3
=
e
n
{\displaystyle \star ({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})i=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{n}}
の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される[2] 。
⋆
(
u
∧
v
)
=
u
×
v
,
⋆
(
u
×
v
)
=
u
∧
v
{\displaystyle \star ({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}\,,\quad \star ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}
i を用いた ⋆ の、よく使われている関係式[5] は、
u
×
v
=
−
(
u
∧
v
)
i
,
u
∧
v
=
(
u
×
v
)
i
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}=-({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})i\,,\quad {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})i}
である。
n = 4 の場合では、ホッジ双対は 2 -ベクトルのなす空間の自己準同型 として作用する(つまり、 4 − 2 = 2 であるので、ホッジ双対は 2 -形式から 2 -形式への写像である)。このときホッジ双対は対合 であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への自己双対 と反自己双対 な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ +1 , −1 として作用する。
他の有用な例は、n = 4 次元の計量の符号 (+ − − −) と 座標 (t , x , y , z ) を使いミンコフスキー空間に対し、(ε 0123 = 1 を使い、) 1 -形式に対し、
⋆
d
t
=
d
x
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle \star \mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆
d
x
=
d
t
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆
d
y
=
d
t
∧
d
z
∧
d
x
{\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
⋆
d
z
=
d
t
∧
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であり、一方、2-形式に対し、
⋆
(
d
t
∧
d
x
)
=
−
d
y
∧
d
z
{\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆
(
d
t
∧
d
y
)
=
d
x
∧
d
z
{\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
⋆
(
d
t
∧
d
z
)
=
−
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
⋆
(
d
x
∧
d
y
)
=
d
t
∧
d
z
{\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}
⋆
(
d
x
∧
d
z
)
=
−
d
t
∧
d
y
{\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}
⋆
(
d
y
∧
d
z
)
=
d
t
∧
d
x
{\displaystyle \star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}
である。
ホッジスターは双対性を定義する、つまりホッジスターを二回適用することで符号を除き外積代数の恒等写像を定める。n -次元空間 V の中の
⋀
k
(
V
)
{\textstyle \bigwedge ^{k}(V)}
の k -ベクトルが与えられると、
⋆
⋆
η
=
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
s
η
{\displaystyle \star {\star \eta }=(-1)^{k(n-k)}s\eta }
を得る。ここに s は V 上の内積の計量の符号 (英語版 ) (metric signature) である。特に、s は内積テンソルの行列式 の符号である。このように、たとえば、n = 4 で内積の符号が、(+ − − −) 、または、(− + + +) であれば、s = −1 である。通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、s = 1 である。ホッジスターが擬リーマン多様体へ拡張されると、上の内積は対角形式での計量であると理解される。
上のことから、⋆ の逆写像が
⋆
−
1
:
⋀
k
→
⋀
n
−
k
;
η
↦
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
s
⋆
η
{\displaystyle \star ^{-1}\colon \bigwedge ^{k}\to \bigwedge ^{n-k};\eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta }}
で与えられることがわかる。n が奇数であれば、任意の k に対し k (n − k ) は偶数であり、n が偶数であれば、k (n − k ) と k の偶奇はひとしい。従って、
{
⋆
−
1
=
s
⋆
n
is odd
⋆
−
1
=
(
−
1
)
k
s
⋆
n
is even
{\displaystyle {\begin{cases}\star ^{-1}=s\star &n{\text{ is odd}}\\\star ^{-1}=(-1)^{k}s\star &n{\text{ is even}}\end{cases}}}
である。ここに k は作用した形式の次数である。
上の構成を向きづけられた n 次元のリーマン多様体 、あるいは擬リーマン多様体 の余接空間 に対しても適用でき、k -形式 のホッジ双対 (n − k ) -形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式のL 2 -ノルム である内積を与える。
⋀
k
(
T
∗
M
)
{\textstyle \bigwedge ^{k}(T^{*}M)}
の切断 η と ζ に対し、
(
η
,
ζ
)
=
∫
M
η
∧
⋆
ζ
=
∫
M
⟨
η
,
ζ
⟩
d
V
o
l
{\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge \star \zeta =\int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \,\mathrm {d} \mathrm {Vol} }
である(切断の集合は、
Ω
k
(
M
)
=
Γ
(
⋀
k
(
T
∗
M
)
)
{\textstyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma {\bigl (}\bigwedge ^{k}(T^{*}M){\bigr )}}
と書かれることが多い。Ωk (M ) の元は、外 k -形式と呼ばれる)。
さらに一般的には、向き付けされていない場合は、k -形式のホッジスターを (n − k ) -擬微分形式 (英語版 ) (pseudo differential form) 、すなわち、標準ラインバンドル Ωn (M ) に値を持つ微分形式として定義することができる。
多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分 (codifferential) δ を定義することである。
δ
=
(
−
1
)
n
k
+
n
+
1
s
⋆
d
⋆
=
(
−
1
)
k
⋆
−
1
d
⋆
{\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star \mathrm {d} \star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} \star }}
とする。ここに、リーマン多様体に対し、d は外微分 、s = 1 とする。
d: Ωk (M ) → Ωk +1 (M ) に対し、δ : Ωk (M ) → Ωk −1 (M ) である。
余微分は反微分 ではない。これは外微分と異なる。
余微分は外微分に随伴する、すなわち ⟨η , δζ ⟩ = ⟨dη , ζ ⟩ である。
ここに ζ は (k + 1) -形式であり、η は k -形式である。
これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは
0
=
∫
M
d
(
η
∧
⋆
ζ
)
=
∫
M
(
(
d
η
∧
⋆
ζ
)
−
(
η
∧
(
−
1
)
k
+
1
d
⋆
ζ
)
)
=
∫
M
(
(
d
η
∧
⋆
ζ
)
−
(
η
∧
⋆
(
−
1
)
k
+
1
⋆
−
1
d
⋆
ζ
)
)
=
⟨
d
η
,
ζ
⟩
−
⟨
η
,
δ
ζ
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{M}\mathrm {d} (\eta \wedge \star \zeta )\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge (-1)^{k+1}\mathrm {d} {\star \zeta }){\Bigr )}\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} {\star \zeta }}){\Bigr )}\\&=\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle -\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \end{aligned}}}
となるとき、つまり、M は境界を持たないか、または、η あるいは ⋆ζ が境界値が 0 を持っているときである。
(もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。)
注意すべきは、微分形式は、d2 = 0 を満たすので、余微分は対応する性質
δ
2
=
s
2
⋆
d
⋆
⋆
d
⋆
=
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
s
3
⋆
d
2
⋆
=
0
{\displaystyle \!\delta ^{2}=s^{2}{\star \mathrm {d} {\star {\star \mathrm {d} {\star }}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0}
をみたす。
ラプラス・ド・ラーム作用素 (en:Laplace–Beltrami_operator )は ∆ = (δ + d)2 = δ d + dδ で与えられ、
ホッジ理論 の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち ⟨∆ζ , η ⟩ = ⟨ζ , ∆η ⟩ であり、
非負 ⟨∆η , η ⟩ ≥ 0 である。
ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。ホッジ理論 の結果として、ド・ラームコホモロジー は自然に調和 k -形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群
⋆
:
H
Δ
k
(
M
)
→
H
Δ
n
−
k
(
M
)
{\displaystyle \star \colon H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M)}
の同型をもたらす。これは H k (M ) のポアンカレ双対性 と標準的に同一視される。
3次元では、⋆ 作用素と外微分 d の組み合わせは、古典的作用素 grad 、curl 、div を生成する。このことは次のようにして分かる。d は、0 -形式(函数)から 1 -形式へ、1 -形式から 2 -形式へ、2 -形式から 3 -形式へ(3 -形式へ作用させると 0 となる)作用素である。0 -形式 ω = f (x , y , z ) に対し、成分表示された第一の場合は、grad 作用素と同一視される。
d
ω
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
+
∂
f
∂
z
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z}
第二の場合は、⋆ 作用素により、1 -形式上の作用素 (η = A dx + B dy + C dz ) を成分で示すと、curl 作用素である。
d
η
=
(
∂
C
∂
y
−
∂
B
∂
z
)
d
y
∧
d
z
+
(
∂
A
∂
z
−
∂
C
∂
x
)
d
z
∧
d
x
+
(
∂
B
∂
x
−
∂
A
∂
y
)
d
x
∧
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} \eta =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A}{\partial z}}-{\frac {\partial C}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。
⋆
d
η
=
(
∂
C
∂
y
−
∂
B
∂
z
)
d
x
+
(
∂
A
∂
z
−
∂
C
∂
x
)
d
y
+
(
∂
B
∂
x
−
∂
A
∂
y
)
d
z
{\displaystyle \star \mathrm {d} \eta =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial A}{\partial z}}-{\frac {\partial C}{\partial x}}\right)\mathrm {d} y+\left({\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z}
最後の場合は、⋆ を作用させると、1 -形式 (η = A dx + B dy + C dz ) から 0 -形式(函数)を得て、成分で示すと div 作用素である。
⋆
η
=
A
d
y
∧
d
z
+
B
d
z
∧
d
x
+
C
d
x
∧
d
y
d
⋆
η
=
(
∂
A
∂
x
+
∂
B
∂
y
+
∂
C
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
⋆
d
⋆
η
=
∂
A
∂
x
+
∂
B
∂
y
+
∂
C
∂
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\star \eta &=A\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+C\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\mathrm {d} {\star \eta }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} {\star \eta }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{aligned}}}
この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 d2 = 0 が、残る 2つをまとめ、curl(grad( f )) = 0 と div(curl(F )) = 0 と得る。特に、マクスウェルの方程式 は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。
ラプラシアン も得ることができる。上の情報と ∆ f = div grad f という事実を使うと、0 -形式 ω = f (x , y , z ) に対し、
Δ
ω
=
⋆
d
⋆
d
ω
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta \omega =\star \mathrm {d} {\star \mathrm {d} \omega }={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
となる。