ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数
のハンケル変換は以下で定義される。
![{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7c73ccfe26d21ebd6f720076ffcb1016ec7405)
ここで Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 Fν(k) は以下となることが分かる。
![{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k~dk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442ddf9ceabb0c76b296da2badf783055adb7db)
ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。
関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分
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が有限であるときである。
しかしフーリエ変換と同様に、たとえば のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。
ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。
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ここで k と k' はどちらも 0 より大きい。
関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。
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プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。
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これらのことは、基底の直交性から導かれる。
零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。
動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。
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ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。
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ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。
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これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。
ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。
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つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。
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for m odd
for m even
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は第2種変形ベッセル関数である。表中の
は、球対称な関数 に極座標系 におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。
- Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
- Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
- Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed. ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223
- GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換[リンク切れ]