ゲルマン行列

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, 英: Gell-Mann matrices）とは、3次特殊ユニタリ群 $SU(3)$ の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組^[1]^[2]。 $SU(3)$ に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、 $SU(3)$ 対称性に基づく八道説（英語版）を提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された^[3]。

定義と基本的な性質

次式で定義される8個の $3\times3$ 複素行列の組をゲルマン行列という。

\lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

\lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

\lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

\lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}

ここで、 $λ 1, λ 2, λ 3$ は部分空間に作用するパウリ行列 $σ 1, σ 2, σ 3$ を

\lambda _{a}={\begin{bmatrix}\sigma _{a}&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad (a=1,2,3)

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている^[4]。

ゲルマン行列 $λ a (a =1,\dots,8)$ はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。

\lambda _{a}^{\,\dagger }=\lambda _{a}

\operatorname {Tr} (\lambda _{a})=0

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす^[5]。

\operatorname {Tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab}

但し、 $δ ab$ はクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係

ゲルマン行列の交換関係 $[λ a, λ b]= λ a λ b - λ b λ a$ は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

[\lambda _{a},\lambda _{b}]=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c}

ここで、 $f abc$ は添え字 $a, b, c$ について、完全反対称な実係数である。 $f abc$ のうち、ゼロでないものは、 $a < b < c$ を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

f_{123}=1

f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}={\frac {1}{2}}

f_{156}=f_{367}=-{\frac {1}{2}}

f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

一方、反交換関係 ${λ a, λ b}= λ a λ b + λ b λ a$ は次の形をとる。

\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}+2\sum _{i=1}^{8}d_{abc}\lambda _{c}

ここで、 $d abc$ は添え字 $a, b, c$ について、完全対称な実係数である。 $d abc$ のうち、ゼロでないものを $a < b < c$ を満たすもので代表させて表すと、

d_{118}=d_{228}=d_{338}={\frac {1}{\sqrt {3}}}

d_{888}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}

d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}={\frac {1}{2}}

d_{247}=d_{366}=d_{377}=-{\frac {1}{2}}

d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}

SU(3)の生成子

3次特殊ユニタリ群 $SU(3)$ は行列式が１となる $3\times3$ ユニタリ行列から構成される。 $SU(3)$ は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 $𝔰𝔲(3)$ の元ではなく、ゲルマン行列に $i = \sqrt -1$ を乗じたものが $𝔰𝔲(3)$ の元となる。通常、 $SU(3)$ の生成子としては、 $λ a$ の代わりに $1/2$ を乗じた $T a$ が用いられる。

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}

コンパクトで連結なリー群 $SU(3)$ の任意の元はリー環の指数写像によって

e^{i\sum _{a=1}^{8}\theta _{a}T_{a}}\quad (\theta _{a}\in \mathbb {R} ,\,a=1,\cdots ,8)

の形で与えられる。

ゲルマン行列 $λ a$ 、または $T a$ の線形結合で張られる線形空間は交換子積

[T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}

により、リー代数となり、その構造は

[T_{a},T_{b}]=i\sum _{i=1}^{8}f_{abc}T_{c}

で定まる構造定数 $f abc$ で規定される^[6]。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、 $f abc$ は添え字 $a, b, c$ について、完全反対称である。

${T 1, T 2, T 3}$ の組は、

[T_{1},T_{2}]=iT_{3},\quad [T_{2},T_{3}]=iT_{1},\quad [T_{3},T_{1}]=iT_{2}

と交換子積について閉じており、 $SU(2)$ に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組は $SU(2)$ に対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は

C_{1}=\sum _{a}T_{a}^{\,2}

C_{2}=\sum _{a}d_{abc}T_{a}T_{b}T_{c}

で与えられる。

脚注

^ G.B. Arfken, H.J. Weber and F.E. Harris (2012), chapter.4
^ H. Georgi (1999), chapter.7-9
^ Murray Gell-Mann,"Symmetries of Baryons and Mesons", Phys. Rev. 125, 1067 (1962) doi:10.1103/PhysRev.125.1067
^ パウリ行列は $SU(2)$ の生成子であり、ゲルマン行列は $SU(3)$ の生成子である。
^ リー代数におけるカルタン計量に対応する。
^ $f abc$ は交換関係・反交換関係の節で述べたものと同一である。

参考文献

George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

関連項目

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