連続時間 では、BIBO安定性の条件はインパルス応答 が可積分であること、すなわちそのL1 ノルム が存在することである。
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \ \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|dt}=\|h\|_{1}<\infty }
離散時間 では、BIBO安定性の条件はインパルス応答 が可総和 であること、すなわちその
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ノルム が存在することである。
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
インパルス応答
h
[
n
]
{\displaystyle \ h[n]}
線型時不変系 があるとき、入力
x
[
n
]
{\displaystyle \ x[n]}
y
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]}
y
[
n
]
=
h
[
n
]
∗
x
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}
ここで、
∗
{\displaystyle *}
畳み込み を意味する。したがって、畳み込みの定義から次が導かれる。
y
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \ |x[n]|}
|
y
[
n
]
|
=
|
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
n
−
k
]
x
[
k
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
|
x
[
k
]
|
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}
三角不等式 による）
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}
もし
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}
したがって、
‖
x
‖
∞
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }<\infty }
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }
|
y
[
n
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|}
連続時間の場合の証明も同じ論法である。
因果性の有理 連続時間系 での安定性の条件は、ラプラス変換 の収束半径 （ROC）が虚軸 を含むことである。系が因果性であれば、ROCはX軸 が最大の極の実部であるような垂直線の右への開領域 である。ここでいう「最大」とは、その極の実部がその系の他の全ての極よりも大きな実部を持つことを意味する。ROCを定義する最大の極の実部を収束座標（abscissa of convergence）と呼ぶ。したがって、BIBO安定性を持つには、そのシステムの全極が必ずs平面 の左半分になければならない。
この安定性条件は上述の時間領域の条件から以下のように導出できる。
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
|
e
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
e
σ
+
j
ω
)
−
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
e
−
s
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}
ここで
s
=
σ
+
j
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
Re
(
s
)
=
σ
=
0
{\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}
従って、収束半径 には虚軸 が含まれなければならない。
因果性の有理離散時間系 での安定性の条件は、Z変換 の収束半径 （ROC）が単位円 を含むことである。系が因果性であれば、ROCは絶対値が最大の極の絶対値を半径とする円の外の開領域 である。したがって、BIBO安定性を持つには、全ての極がz平面上の単位円 内になければならない。
この安定性条件は、連続時間の場合とよく似た手法で導出できる。
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
|
e
−
j
ω
n
|
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
r
e
j
ω
)
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
z
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}
ここで
z
=
r
e
j
ω
{\displaystyle z=re^{j\omega }}
r
=
|
z
|
=
1
{\displaystyle r=|z|=1}
したがって、収束半径 には単位円 が含まれなければならない。
Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0133737624
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
BIBO Stability Connexions 
![{\displaystyle \ |h[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aab17a5ad54ac0e0a4dffa47ecedcd4cf32c577)
![{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161d1bac676ba1aabc6c40e3544506d80acef0d5)
![{\displaystyle \ h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510ff22bd387c23a8194c0b2cee7d630f48d2659)
![{\displaystyle \ x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ced457fbdfb2c87a5cb5375b403a1c1c8212f6)
![{\displaystyle \ y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44518ac8f35f9734dd0907891bb38262ef2d052)
![{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d890ceb9b201729dcc4bf5844face94b58215)
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a582c4fdbf53782af354d76509cd8a2dd679cd)
![{\displaystyle \ |x[n]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d03157f1295930f4074ed4f8bca5a6992c1d97)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5759164337cce80f7232d8bdb129d48d9f9bec)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ed90b0c4de65376f6eb3a812bd2d000a95f7f2)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414e6e5f006c4e99d1069c8a92386dc63471f2c3)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ddf05b59424b195df02e031c7b1b6d85eba0b4)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49d06ec3aaf8a951b669b5a1dc9ad33a793410)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f61a9de3747a6d7db4a14ff85ab624a7807d56)
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4814b58f6e710292272c780891426f31894517)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669347cb1262a4ca0c5bcddec292b20e93f6591f)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3beac28a0c80a00962fa07aa6d35bf2e8d93944)
^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80181de05a13e0bc0ae329ecf551d1e743240d69)
^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d301c384ee3171c46d53ae1938f58432fe85d060)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a359ea08959c3975802edc55a493d50ba536852)
