量子力学における物理量 はヒルベルト空間 上の状態ベクトル に作用する演算子として表されており、これに倣って運動量も演算子へと置き換えられる[ 1] ハット記号 を付して表され、運動量演算子は
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
ハミルトン形式 （正準形式）の古典力学において、運動量は正準変数 として特別な役割を担っており、これを反映して量子論においても特別な役割を担っている。
運動量演算子を特徴付ける基本的な性質は正準交換関係 と呼ばれる関係で、位置の演算子との間に
[
x
^
,
p
^
]
≡
x
^
p
^
−
p
^
x
^
=
i
ℏ
{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar }
を満たす。ここで ħ は換算プランク定数 であり、i は虚数単位 である。運動の自由度が2つ以上の場合はクロネッカーのデルタ を用いて
[
x
^
a
,
p
^
b
]
=
i
ℏ
δ
b
a
{\displaystyle [{\hat {x}}^{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \delta _{b}^{a}}
となる[ 2]
波動力学において運動量演算子は
p
^
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
として微分演算子と関係付けられる[ 3] [ 4] ψ (x,t )
p
^
ψ
(
x
,
t
)
=
−
i
ℏ
∂
ψ
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}
と作用する。
微分演算子による表示が正準交換関係を満たすことは連鎖律 により確認される。すなわち位置の演算子を作用させたのち、運動量演算子を作用させると
p
^
(
x
^
ψ
)
=
−
i
ℏ
∂
(
x
ψ
)
∂
x
=
−
i
ℏ
x
∂
ψ
∂
x
−
i
ℏ
ψ
=
x
^
(
p
^
ψ
)
−
i
ℏ
ψ
{\displaystyle {\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=-i\hbar {\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=-i\hbar x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-i\hbar \psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-i\hbar \psi }
となるので
[
x
^
,
p
^
]
ψ
=
x
^
(
p
^
ψ
)
−
p
^
(
x
^
ψ
)
=
i
ℏ
ψ
{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-{\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=i\hbar \psi }
が確認される。
量子場の理論 においては、第二量子化 により場が量子化されて演算子として表される。量子場
ϕ
^
(
x
)
{\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}
i
ℏ
[
P
^
μ
,
ϕ
^
(
x
)
]
=
∂
μ
ϕ
^
(
x
)
{\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {P}}_{\mu },{\hat {\phi }}(x)]=\partial _{\mu }{\hat {\phi }}(x)}
として演算子の交換子積で与えられる[ 5]
P
μ
↦
−
i
ℏ
∂
μ
{\displaystyle P_{\mu }\mapsto -i\hbar \partial _{\mu }}
で表される。
運動量演算子とエネルギー演算子は次のように構築できる[ 6]
１次元から出発し、シュレーディンガー方程式 に平面波 解を用いる。
ψ
=
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle \psi =e^{i(kx-\omega t)}}
空間についての１階偏微分は、
∂
ψ
∂
x
=
i
k
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
=
i
k
ψ
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\psi }
ド・ブロイの関係式 p = ħ k k を表すと、ψ の微分公式は次のようになる。
∂
ψ
∂
x
=
i
p
ℏ
ψ
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\psi }
このことは演算子の等価性を示している。
p
^
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
よって運動量 p はスカラー 値で、測定される粒子の運動量は演算子の固有値である。
偏微分は線形演算子 であり、運動量演算子も線形である。いかなる波動関数も他の状態の重ね合わせ として表すことができるため
この運動量演算子は重ね合わせられた波全体に作用するとき、それぞれの平面波成分に対して運動量の固有値を与え、運動量が重ね合わせられた波の全運動量に加えられる。
３次元での導出は、１階偏微分の代わりにナブラ が用いられることを除いて、１次元と同じようにできる。
３次元のシュレーディンガー方程式の平面波解は次のように書ける。
ψ
=
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle \psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
また勾配は
∇
ψ
=
e
x
∂
ψ
∂
x
+
e
y
∂
ψ
∂
y
+
e
z
∂
ψ
∂
z
=
i
k
x
ψ
e
x
+
i
k
y
ψ
e
y
+
i
k
z
ψ
e
z
=
i
ℏ
(
p
x
e
x
+
p
y
e
y
+
p
z
e
z
)
ψ
=
i
ℏ
p
^
ψ
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&=ik_{x}\psi \mathbf {e} _{x}+ik_{y}\psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \psi \end{aligned}}}
ここで e x e y e z
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }
この運動量演算子は位置空間に存在する。なぜなら偏微分は空間変数に対して行われるからである。
電荷 とスピン を持たない１つの粒子では、運動量演算子は位置基底で表すことができる[ 7]
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }
ここで ∇ は勾配 の演算子、ħ ディラック定数 、i 虚数単位 である。
これは１次元空間では次のようになる
p
^
=
p
^
x
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
.
{\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}
これは一般的によく見かける運動量演算子の形であるが、最も一般的な形ではない。
スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A 電磁場 中の荷電粒子 q では、運動量演算子は次のように置き換えなければならない[ 6]
p
^
=
−
i
ℏ
∇
−
q
A
{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }
ここで正準運動量 演算子は、
P
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla }
これは電気的中性な粒子でも成り立ち、q = 0
物理的な量子状態に作用する運動量演算子は、（特に量子状態が正規化 できるときは、）常にエルミート演算子 である[ 8]
（半無限区間 [0, ∞) [ 9] ユニタリー な並進演算子 を持たないという事実と密接に関係している）
運動量基底と位置基底を適切に用いると、次の関係が簡単に示せる。
[
x
^
,
p
^
]
=
x
^
p
^
−
p
^
x
^
=
i
ℏ
.
{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}
ハイゼンベルク の不確定性原理 は、どれだけ正確に１粒子の運動量と位置を同時に知ることができるかという限界点を定義する。
量子力学では、位置と運動量は共役変数 となる。
座標表示の波動関数のフーリエ変換 を
ψ
~
p
(
t
)
≡
F
[
ψ
]
p
=
1
2
π
ℏ
∫
ψ
(
x
,
t
)
e
−
i
p
x
/
ℏ
d
x
{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{p}(t)\equiv {\mathcal {F}}[\psi ]_{p}={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \psi (x,t)\,e^{-ipx/\hbar }dx}
とする。フーリエ変換
ψ
~
p
{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{p}}
p である確率密度がその二乗
|
ψ
~
p
|
2
{\displaystyle |{\tilde {\psi }}_{p}|^{2}}
運動量演算子を作用させた波動関数のフーリエ変換は
F
[
p
^
ψ
]
p
=
−
i
ℏ
F
[
∂
ψ
∂
x
]
p
=
p
F
[
ψ
]
p
=
p
ψ
~
p
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}[{\hat {p}}\psi ]_{p}=-i\hbar {\mathcal {F}}\left[{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right]_{p}=p{\mathcal {F}}[\psi ]_{p}=p{\tilde {\psi }}_{p}(t)}
となり、運動量表示された波動関数への運動量演算子の作用が
p
^
ψ
~
p
(
t
)
=
p
ψ
~
p
(
t
)
{\displaystyle {\hat {p}}{\tilde {\psi }}_{p}(t)=p{\tilde {\psi }}_{p}(t)}
であることが示される。
ブラ-ケット記法 を用いれば、状態ベクトル
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
ψ
(
x
,
t
)
=
⟨
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi \rangle }
p
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\hat {p}}|\psi \rangle }
⟨
x
|
p
^
|
ψ
⟩
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
ψ
(
x
,
t
)
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
⟨
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }
となる。これは座標基底
⟨
x
|
{\displaystyle \langle x|}
⟨
x
|
p
^
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
⟨
x
|
{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|}
であるとみなすことができる。
ここから便利な関係として
⟨
x
|
p
^
|
x
′
⟩
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
⟨
x
|
x
′
⟩
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|x'\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\delta (x-x')}
が導かれる。ここで δ はディラックのデルタ関数 である。
同じ状態を運動量表示したは波動関数は
ψ
~
p
(
t
)
=
⟨
p
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{p}(t)=\langle p|\psi \rangle }
⟨
p
|
p
^
|
ψ
⟩
=
p
⟨
p
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle p|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle p|\psi \rangle }
であり、運動量基底
⟨
p
|
{\displaystyle \langle p|}
⟨
p
|
p
^
=
p
⟨
p
|
{\displaystyle \langle p|{\hat {p}}=p\langle p|}
である。すなわち運動量基底とは運動量演算子の固有ベクトル である。
運動量表示と座標表示がフーリエ変換で結び付けられることから、運動量基底と座標基底の内積はフーリエ変換とその逆変換の積分核
⟨
p
|
x
⟩
∝
e
−
i
p
x
/
ℏ
,
⟨
x
|
p
⟩
=
⟨
p
|
x
⟩
†
∝
e
i
p
x
/
ℏ
{\displaystyle \langle p|x\rangle \propto e^{-ipx/\hbar },\quad \langle x|p\rangle =\langle p|x\rangle ^{\dagger }\propto e^{ipx/\hbar }}
である。これは運動量演算子の作用が
⟨
x
|
p
^
|
p
⟩
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
⟨
x
|
p
⟩
=
p
⟨
x
|
p
⟩
{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|p\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle }
であることから導かれる。
並進演算子 を T (ε )ε は並進の長さを表す。この並進演算子は次の恒等式を満足する。
T
(
ε
)
|
ψ
⟩
=
∫
d
x
T
(
ε
)
|
x
⟩
⟨
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }
これは次のようになる。
∫
d
x
|
x
+
ε
⟩
⟨
x
|
ψ
⟩
=
∫
d
x
|
x
⟩
⟨
x
−
ε
|
ψ
⟩
=
∫
d
x
|
x
⟩
ψ
(
x
−
ε
)
{\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}
関数ψ が解析的 （すなわち複素平面 のある領域で微分可能 ）であると仮定すると、x についてテイラー級数 に展開できる。
ψ
(
x
−
ε
)
=
ψ
(
x
)
−
ε
d
ψ
d
x
{\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}
よって無限小 量 ε について、
T
(
ε
)
=
1
−
ε
d
d
x
=
1
−
i
ℏ
ε
(
−
i
ℏ
d
d
x
)
{\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}
古典力学 から分かるように、運動量 は並進の生成子である。
よって並進と運動量演算子との間の関係は、
T
(
ε
)
=
1
−
i
ℏ
ε
p
^
{\displaystyle T(\varepsilon )=1-{i \over \hbar }\varepsilon {\hat {p}}}
ここで、
p
^
=
−
i
ℏ
d
d
x
.
{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}.}
^ 『現代の量子力学』 p.14^ 『現代の量子力学』 p.63^ 小出『量子力学 I』 p.31^ 猪木、川合『量子力学 I』 p.21^ 坂井『場の量子論』 p.23^ a b Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ Quantum Mechanics Demystified , D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9 ^ See Lecture notes 1 by Robert Littlejohn for a specific mathematical discussion and proof for the case of a single, uncharged, spin-zero particle. See Lecture notes 4 by Robert Littlejohn for the general case.
^ Bonneau,G., Faraut, J., Valent, G. (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. American Journal of Physics 69 (3): 322–331. arXiv :quant-ph/0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . doi :10.1119/1.1328351 .
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab87835ef707272fb97649e160161f4d3a7fb4aa)
![{\displaystyle [{\hat {x}}^{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \delta _{b}^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3165560859d9a4c7398aa35b19494cf4b6157a72)
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-{\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=i\hbar \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e08e56e5afee7d58326dae61bd5d428c46596d2)
![{\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {P}}_{\mu },{\hat {\phi }}(x)]=\partial _{\mu }{\hat {\phi }}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da395266c02228bf78bafe1dba4f4e199202341f)
![{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4cd4da0b95129aa75238f91f941c0b49df1f35e)
![{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{p}(t)\equiv {\mathcal {F}}[\psi ]_{p}={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \psi (x,t)\,e^{-ipx/\hbar }dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11777c40a8f4e4b6ebf82ffd0152de1b1a60812)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[{\hat {p}}\psi ]_{p}=-i\hbar {\mathcal {F}}\left[{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right]_{p}=p{\mathcal {F}}[\psi ]_{p}=p{\tilde {\psi }}_{p}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc96b409705c92fcc04693d4bdbb8ff892dccc9)
