線型代数学の基本定理

数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解

$A=U\Sigma V^{T}\$

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 $A\in \mathbf {R} ^{m\times n}$（行列 $A$ は $m$ 個の行と $n$ 個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す：

部分空間の名前	定義	含まれる空間	次元	基底
列空間、値域あるいは像	$\mathrm {im} (A)$ あるいは $\mathrm {range} (A)$	$\mathbf {R} ^{m}$	$r$（階数）	$U$ の初めの $r$ 列
零空間あるいは核	$\mathrm {ker} (A)$ あるいは $\mathrm {null} (A)$	$\mathbf {R} ^{n}$	$n-r$（退化次数）	$V$ の最後の $(n-r)$ 列
行空間あるいは余像	$\mathrm {im} (A^{T})$ あるいは $\mathrm {range} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{n}$	$r$（階数）	$V$ の初めの $r$ 列
左零空間あるいは余核	$\mathrm {ker} (A^{T})$ あるいは $\mathrm {null} (A^{T})$	$\mathbf {R} ^{m}$	$m-r$（余階数）	$U$ の最後の $(m-r)$ 列

続いて、次が成立する：

1. $\mathbf {R} ^{n}$ において、$\mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }$ である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。
2. $\mathbf {R} ^{m}$ において、$\mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }$ である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。

行列 A に関する四つの部分空間

各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、$A\colon V\to W$ および $A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ を用いて次のように言い直すことが出来る：$A^{*}$ の核および像は、$A$ の余核および余像に、それぞれ等しい。

関連項目

• 階数・退化次数の定理
• 閉値域の定理

参考文献

• Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
• Strang, Gilbert (1993), “The fundamental theorem of linear algebra”, American Mathematical Monthly 100 (9): 848–855, doi:10.2307/2324660, JSTOR 2324660, http://www.eng.iastate.edu/~julied/classes/CE570/Notes/strangpaper.pdf 

外部リンク

• Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces at Google Video, from MIT OpenCourseWare