有限射
代数幾何学において、2つのアフィン多様体 の間の有限射(ゆうげんしゃ、英: finite morphism)とは、稠密な正則写像であって、座標環に誘導される写像 が単射準同型でこれにより が の整拡大になるもののことを言う[1]。この定義は準射影多様体に対して次のように一般化できる。準射影多様体の間の正則写像 が有限であるとは、任意の点 に対してあるアフィン近傍系 V が存在し、 がアフィンかつ が先ほどの意味で有限射になることを言う[2]。
スキーム論での定義
編集スキームの射 f: X → Y が有限射であるとは、Y があるアフィン・スキーム
による開被覆を持ち、各 i に対して
が開アフィン部分スキーム Spec Ai になり、f を Ui に制限した射から誘導される環準同型
により Ai が Bi 上の有限生成加群になることを言う[3]。またこのとき、X は Y 上有限であると言う。
実際は、f が有限であることと、Y の全ての開アフィン部分スキーム V = Spec B に対して X における V の逆像がアフィンスキーム Spec A で、環 A が有限生成 B 加群となることは同値である[4]。
例えば、任意の体 k に対して は有限射である。これは、 加群としての同型 があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による A1 − 0 から A1 への射は有限ではない。ローラン多項式環 k[y, y−1] は k[y] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。
有限射の性質
編集- 2つの有限射の合成は有限射である。
- 有限射 f: X → Y の基底変換は有限射である。つまり、g: Z → Y をスキームの任意の射とすると、自然な射 X ×Y Z → Z 有限は有限射である。これは次の代数的な事実に対応している。A と C を(可換)B 代数とし、A が B 加群として有限生成とすると、テンソル積 A ⊗B C は C 加群として有限生成である。実際、ai を A の B 加群としての生成元とすると、ai ⊗ 1 が A ⊗B C の C 加群としての生成元になる。
- 有限射のファイバーは有限集合である。したがって、有限射は準有限射である[4]。これは、体 k に対して任意の有限 k 代数はアルティン環であることから分かる。また、これと関連することとして、有限な全射 f: X → Y があると、X と Y は同じ次元を持つ。
有限型の射
編集可換環の準同型 A → B に対し、B が A 代数として有限生成であるとき、B は 有限型(finite type)の A 代数と呼ばれる。B が A 加群として有限生成であるとき、B は 有限(finite )A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x1, ..., xn] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は である。
スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 f: X → Y が有限型(finite type)であるとは、Y のアフィン開部分スキームによる被覆 Vi = Spec Ai が存在して、f−1(Vi) が有限個のアフィン開部分スキーム Uij = Spec Bij によって被覆され、Bij が Ai 代数として有限型であることを言う。またこのとき、X は Y 上有限型であると言う。
例えば、任意の自然数 n と体 k に対して、k 上の n 次元アフィン空間や n 次元射影空間は k 上(Spec k 上の意)有限型である。一方、n = 0 でない限り k 上有限ではない。より一般に、k 上の任意の準射影的スキームは k 上有限型である。
ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 k 上有限型な全てのアフィン・スキーム X は、X と同じ次元 n を持つ k 上のアフィン空間 An への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム X は、X と同じ次元 n の射影空間 Pn への全射な有限射を持つ。
関連項目
編集脚注
編集- ^ Shafarevich 2013, p. 60, Def. 1.1.
- ^ Shafarevich 2013, p. 62, Def. 1.2.
- ^ Hartshorne 1977, Section II.3.
- ^ a b c d Stacks Project, Tag 01WG.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Part 4, Corollaire 18.12.4.
- ^ Grothendieck, EGA IV, Part 3, Théorème 8.11.1.
参考文献
編集- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 28: 5–255. MR0217086 .
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–361. MR0238860 .
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157
- Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4
外部リンク
編集- The Stacks Project Authors, The Stacks Project