ディラック定数

換算プランク定数; ディラック定数; reduced Planck constant; Dirac's constant
記号	ħ
値
相対標準不確かさ	ゼロ
語源	マックス・プランク; ポール・ディラック
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換算プランク定数（かんさんプランクていすう、英: reduced Planck constant）またはディラック定数（ディラックていすう、英: Dirac's constant） $ħ$ は、プランク定数 $h$ を $2 π$ で割った値を持つ定数である。

数値

2019年5月20日に施行された新しいSIの定義では、プランク定数を定義値として定めることによって質量（キログラム）を定義している。このためディラック定数も定義値となり、不確かさのないものとなった。

その値は

{\begin{aligned}\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}&=1.054\ 571\ 817...\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}\\&=6.582\ 119\ 569...\times 10^{-16}\ {\mbox{eV}}\cdot {\mbox{s}}\end{aligned}}

である^[1]^[2]。 $ħ$ は「エイチ・バー」と読む。

物理的意義

物理的には、プランク定数が周波数 $ν$ とエネルギー $E$ の間の比例定数を意味するのに対して、換算プランク定数は角周波数 $ω$ とエネルギー $E$ の間の比例定数を意味する。すなわち、

E=h\nu ={\frac {h}{2\pi }}\cdot 2\pi \nu =\hbar \omega

の関係が成り立っている。また、以下のように運動量 $p$ と角波数 $k$ の間の比例定数と見ることもできる。

p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h}{2\pi }}{\frac {2\pi }{\lambda }}=\hbar k

ディラック定数は原子単位系における作用の単位である。

角運動量

電子の軌道角運動量 $L$ の大きさ $| L |$ と $z$ 成分 $L z$ は

{\begin{aligned}&|{\boldsymbol {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar \\&L_{z}=m\hbar \end{aligned}}

と表され^[3]^:138,334頁^[4]、ディラック定数を基本単位としていることが分かる。ここで、 $n$ を主量子数とすると、 $l$ は $l = 0, 1, 2, 3, \dots, n - 1$ までの値を取る方位量子数^[3]^:335頁^[4]^[5]、 $m$ は $m = 0, \pm1, \pm2, \dots, \pm l$ の $(2 l + 1)$ 個の値を取る磁気量子数で^[3]^:138頁^[4]^[6]、軌道角運動量を極座標 $(r, θ, φ)$ で表わした場合の角部分が $l$ 、動径部分が $m$ である^[4]。また、電子のスピン角運動量は $±.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2ħ$ で^[7]、量子力学の分野ではプランク単位系を用いることが多く、その場合の電子のスピンは $\pm 1 / 2$ と書き、この $\pm 1 / 2$ をスピン量子数と呼ぶ。

二原子分子の回転運動を表す際、 $J$ を回転量子数とすると、回転の角運動量の大きさは $\sqrt J (J + 1) ħ$ 、回転運動のエネルギーは $BJ (J + 1)$ と表され、回転定数 $B$ の中に $B = ħ 2 / 2 I$ とディラック定数が現れる。ここで、 $I$ は分子の重心まわりの主慣性モーメントの非零成分である^[3]^:51頁。

不確定性原理

量子力学によって記述されるような物理現象の観測においては、不確定性原理によって位置の不確かさ $Δ x$ と運動量の不確かさ $Δ p$ の積 $Δ x \cdotΔ p$ 、あるいはエネルギーの不確かさ $Δ E$ と時間の不確かさ $Δ t$ の積 $Δ E \cdotΔ t$ は、 $ħ / 2$ より小さくなることはないとして

{\begin{aligned}&\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\\&\Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}

と表される^[3]^:303頁^[8]。

記号

ディラック定数には H にバーを付した Ħ の小文字 ħ が用いられることもあるが、Unicode には専用の文字 U+210F ℏ planck constant over two pi が用意されている。またTeXでは \hbar コマンドが用いられる。

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
ℏ	`U+210F`	`1-3-61`	`ℏ` `ℏ`	PLANCK CONSTANT OVER TWO PI

脚注

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出典

^ CODATA Value
^ CODATA Value
^ ^a ^b ^c ^d ^e 物理小事典
^ ^a ^b ^c ^d 化学小事典
^ ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『方位量子数』 - コトバンク
^ ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『磁気量子数』 - コトバンク
^ ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『スピン量子数』 - コトバンク
^ 日本大百科全書(ニッポニカ)『不確定性原理』 - コトバンク

参考文献

“dirac's constant”. The American Heritage® Science Dictionary (1st ed.). Boston: Houghton Mifflin Harcourt. (January 25, 2005). ASIN B001P5HDQI. ISBN 0618455043. NCID BA73925776. OCLC 56356196
『物理小事典』（第4版）三省堂、2008年（原著1994年4月1日）。ASIN 4385240167。ISBN 978-4385240169。 NCID BN10774805。OCLC 675375379。全国書誌番号:94041161。
『化学小事典』（第4版）三省堂、2008年（原著1993年12月）。ASIN 4385240256。ISBN 978-4385240251。 NCID BN10357874。OCLC 674607619。全国書誌番号:95021622。

外部リンク

“CODATA Value: Planck constant over 2 pi”. NIST (2019年5月20日). 2019年5月31日閲覧。
“CODATA Value: Planck constant over 2 pi in eV s”. NIST (2019年5月20日). 2019年5月31日閲覧。
デジタル大辞泉『ディラック定数』 - コトバンク
Dirac h - ブリタニカ百科事典

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[6] ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『磁気量子数』 - コトバンク

[7] ブリタニカ国際大百科事典小項目事典『スピン量子数』 - コトバンク

[8] 日本大百科全書(ニッポニカ)『不確定性原理』 - コトバンク

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