弾性エネルギー

弾性エネルギー（だんせいエネルギー、英語: elastic energy）とは、ばねやゴムなどの弾性体の変形に伴うエネルギーである。位置エネルギーの一種である。

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一次元の線形弾性体

フックの法則に従うばね係数 $k$ のばねの伸びが $x$ であるときの弾性エネルギーは

U={\frac {1}{2}}kx^{2}

で与えられる。

導出

一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 $k$ のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが $x$ のとき、ばねが物体に及ぼす力は $F = - kx$ である。ばねの伸びが $Δx$ だけ変化するとき、ばねに接続された物体は $Δx$ だけ移動する。ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は

W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x

である。一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを $U$ 、その変化量を $ΔU$ とすれば

W=-\Delta U

である。

これら二つの式から

\Delta U=kx\,\Delta x

が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 $Δx \to 0$ で、微分係数が

{\frac {dU}{dx}}=kx

となる。これを積分すれば

U={\frac {1}{2}}kx^{2}+U_{0}

が導かれる。ここで $U 0$ は積分定数であり、これは伸びが $x = 0$ 、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は $U 0 = 0$ と定める。

弾性エネルギーと応力

先のばねの例において、ばねの伸び $x$ を弾性体の歪み $ε$ へ、物体がばねに及ぼす力 $kx$ を、弾性体の応力 $σ$ へと置き換えれば、応力が偏微分係数

$\sigma _{a}(\epsilon )={\frac {\partial U}{\partial \epsilon _{a}}}$

として表され、弾性エネルギーはこの積分として

$U(\epsilon )=\int \sum _{a}\sigma _{a}(\epsilon )\,d\epsilon _{a}$

で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び $x$ の関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を $a$ で表している。

応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。

弾性エネルギーの例

弾性エネルギーは例として伸びている「ゴム」や「ばね」などのことを言う。弓が元に戻ろうとする力で飛ぶ矢など。

熱力学との関係

弾性エネルギーは、弾性体の性質の力学的な側面だけを考えているが、弾性体の性質は温度によっても変化する。その最たる例として、温度変化による変形である熱膨張が挙げられる。弾性エネルギーは変形の関数であるが、温度と変形の関数として定まるエネルギーが自由エネルギーである。自由エネルギーの偏微分としては状態方程式が得られる。

弾性エネルギー

目次

一次元の線形弾性体

導出

弾性エネルギーと応力

弾性エネルギーの例

熱力学との関係

関連項目