Walter Lewin が1次元の弾性衝突について説明するところ弾性衝突において、運動量と運動エネルギーの両方が保存される[ 1] m 1 とm 2 、衝突前の速度をu 1 とu 2 、衝突後の速度をv 1 とv 2 とする。衝突前後の総運動量の保存は次の式で表される[ 1]
m
1
u
1
+
m
2
u
2
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
.
{\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\ =\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}
同様に、総運動エネルギー の保存は次の式で表される[ 1]
1
2
m
1
u
1
2
+
1
2
m
2
u
2
2
=
1
2
m
1
v
1
2
+
1
2
m
2
v
2
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}.}
u
1
,
u
2
{\displaystyle u_{1},u_{2}}
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_{1},v_{2}}
[ 2]
v
1
=
m
1
−
m
2
m
1
+
m
2
u
1
+
2
m
2
m
1
+
m
2
u
2
v
2
=
2
m
1
m
1
+
m
2
u
1
+
m
2
−
m
1
m
1
+
m
2
u
2
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{1}&=&{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\[.5em]v_{2}&=&{\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\end{array}}}
両方の質量が同じ場合、以下に示す自明な解を得る。
v
1
=
u
2
{\displaystyle v_{1}=u_{2}}
v
2
=
u
1
.
{\displaystyle v_{2}=u_{1}.}
これは単に物体同士の初速の交換に対応する[ 2]
解はすべての速度に定数を追加しても不変である（ガリレオ不変性 （英語版 ）
ボール1: 質量 = 3 kg, 速度 = 4 m/s
ボール2: 質量 = 5 kg, 速度 = −6 m/s 衝突後
ボール1: 速度 = −8.5 m/s
ボール2: 速度 = 1.5 m/s 他のシチュエーション
質量が等しくない物体同士の弾性衝突。 次のイラストは質量が等しい（
m
1
=
m
2
{\displaystyle m_{1}=m_{2}}
質量が等しい物体同士の弾性衝突。 移動する基準系を持つ系における弾性衝突。
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
[ 3]
u
1
{\displaystyle u_{1}}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
減速材 （高速中性子を減速させ、それにより連鎖反応 を維持できる熱中性子に変化させる媒体）が中性子を容易に吸収しない軽い原子核を持つ元素でいっぱいにされている理由である。
上記の
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_{1},v_{2}}
m
1
(
v
1
2
−
u
1
2
)
=
m
2
(
u
2
2
−
v
2
2
)
{\displaystyle m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}
m
1
(
v
1
−
u
1
)
=
m
2
(
u
2
−
v
2
)
{\displaystyle m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}
上の式の各項を下の式の各項で割ると、以下の式となる。
v
1
+
u
1
=
u
2
+
v
2
⇒
v
1
−
v
2
=
u
2
−
u
1
{\displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}
つまり、1つの粒子のもう1つの粒子に対する相対速度は、衝突により逆転する。
m
1
,
m
2
,
u
1
,
u
2
{\displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}}
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_{1},v_{2}}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
{
v
1
−
v
2
=
u
2
−
u
1
m
1
v
1
+
m
2
v
2
=
m
1
u
1
+
m
2
u
2
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}
質量中心に関しては、両方の速度が衝突により逆転する。重い粒子は質量中心に向かってゆっくりと移動し、同じゆっくりとした速度ではね返る。軽い粒子は質量中心に向かって速く移動し同じく速い速度ではね返る。
質量中心 の速度は衝突により変化しない。これを確認するために衝突前の時間
t
{\displaystyle t}
t
′
{\displaystyle t'}
x
¯
(
t
)
=
m
1
x
1
(
t
)
+
m
2
x
2
(
t
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}}
x
¯
(
t
′
)
=
m
1
x
1
(
t
′
)
+
m
2
x
2
(
t
′
)
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.}
したがって、衝突前後の質量中心の速度は以下のようになる。
v
x
¯
=
m
1
u
1
+
m
2
u
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
v
x
¯
′
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}
v
x
¯
{\displaystyle v_{\bar {x}}}
v
x
¯
′
{\displaystyle v_{\bar {x}}'}
v
x
¯
=
v
x
¯
′
{\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'}
特殊相対性理論 によると、以下の式が成り立つ。
p
=
m
v
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
ここで p は質量を有するあらゆる粒子の運動量を示し、v は速度、c は光速を示す。
総運動量が0に等しくなる運動量中心系 （英語版 ）
p
1
=
−
p
2
{\displaystyle p_{1}=-p_{2}}
p
1
2
=
p
2
2
{\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}}
m
1
2
c
4
+
p
1
2
c
2
+
m
2
2
c
4
+
p
2
2
c
2
=
E
{\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E}
p
1
=
±
E
4
−
2
E
2
m
1
2
c
4
−
2
E
2
m
2
2
c
4
+
m
1
4
c
8
−
2
m
1
2
m
2
2
c
8
+
m
2
4
c
8
2
c
E
{\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}}
u
1
=
−
v
1
.
{\displaystyle u_{1}=-v_{1}.}
ここで
m
1
,
m
2
{\displaystyle m_{1},m_{2}}
静止質量 であり、
u
1
,
u
2
{\displaystyle u_{1},u_{2}}
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_{1},v_{2}}
p
1
,
p
2
{\displaystyle p_{1},p_{2}}
c
{\displaystyle c}
E
{\displaystyle E}
系の総エネルギーと運動量は保存され、静止質量は変化しないことから、衝突する物体の運動量は衝突する物体の静止質量、総エネルギー及び総運動量により決まる。運動量中心系に対して、衝突する各物体の運動量は衝突後に大きさは変わらないが、運動の方向が反転する。
光速よりもはるかに遅く移動する巨視的な物体を扱う正確な結果を与える古典力学 と比較すると、衝突する2つの物体の総運動量は基準とする系に依存する。運動量中心系において古典力学によると、以下の式が成り立つ。
m
1
u
1
+
m
2
u
2
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
=
0
{\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0}\,\!}
m
1
u
1
2
+
m
2
u
2
2
=
m
1
v
1
2
+
m
2
v
2
2
{\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\,\!}
(
m
2
u
2
)
2
2
m
1
+
(
m
2
u
2
)
2
2
m
2
=
(
m
2
v
2
)
2
2
m
1
+
(
m
2
v
2
)
2
2
m
2
{\displaystyle {\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}
(
m
1
+
m
2
)
(
m
2
u
2
)
2
=
(
m
1
+
m
2
)
(
m
2
v
2
)
2
{\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!}
u
2
=
−
v
2
{\displaystyle u_{2}=-v_{2}\,\!}
(
m
1
u
1
)
2
2
m
1
+
(
m
1
u
1
)
2
2
m
2
=
(
m
1
v
1
)
2
2
m
1
+
(
m
1
v
1
)
2
2
m
2
{\displaystyle {\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}
(
m
1
+
m
2
)
(
m
1
u
1
)
2
=
(
m
1
+
m
2
)
(
m
1
v
1
)
2
{\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!}
u
1
=
−
v
1
{\displaystyle u_{1}=-v_{1}\,\!}
これは違いはあるものの、相対論的計算
u
1
=
−
v
1
{\displaystyle u_{1}=-v_{1}}
特殊相対性理論の仮定の1つは、運動量保存などの物理法則は全ての慣性座標系で不変であると述べる。総運動量が任意である一般的な慣性系では以下の式となる。
m
1
u
1
1
−
u
1
2
/
c
2
+
m
2
u
2
1
−
u
2
2
/
c
2
=
m
1
v
1
1
−
v
1
2
/
c
2
+
m
2
v
2
1
−
v
2
2
/
c
2
=
p
T
{\displaystyle {\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}}
m
1
c
2
1
−
u
1
2
/
c
2
+
m
2
c
2
1
−
u
2
2
/
c
2
=
m
1
c
2
1
−
v
1
2
/
c
2
+
m
2
c
2
1
−
v
2
2
/
c
2
=
E
{\displaystyle {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E}
2つの移動する物体を、総運動量が
p
T
{\displaystyle p_{T}}
E
{\displaystyle E}
v
c
{\displaystyle v_{c}}
v
c
{\displaystyle v_{c}}
v
c
=
p
T
c
2
E
{\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}
運動量中心系における衝突前の速度
u
1
′
{\displaystyle u_{1}'}
u
2
′
{\displaystyle u_{2}'}
u
1
′
=
u
1
−
v
c
1
−
u
1
v
c
c
2
{\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}}
u
2
′
=
u
2
−
v
c
1
−
u
2
v
c
c
2
{\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}}
v
1
′
=
−
u
1
′
{\displaystyle v_{1}'=-u_{1}'}
v
2
′
=
−
u
2
′
{\displaystyle v_{2}'=-u_{2}'}
v
1
=
v
1
′
+
v
c
1
+
v
1
′
v
c
c
2
{\displaystyle v_{1}={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}}
v
2
=
v
2
′
+
v
c
1
+
v
2
′
v
c
c
2
{\displaystyle v_{2}={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}}
u
1
≪
c
{\displaystyle u_{1}\ll c}
u
2
≪
c
{\displaystyle u_{2}\ll c}
p
T
{\displaystyle p_{T}}
m
1
u
1
+
m
2
u
2
{\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}
v
c
{\displaystyle v_{c}}
m
1
u
1
+
m
2
u
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
u
1
′
{\displaystyle u_{1}'}
u
1
−
v
c
{\displaystyle u_{1}-v_{c}}
m
1
u
1
+
m
2
u
1
−
m
1
u
1
−
m
2
u
2
m
1
+
m
2
=
m
2
(
u
1
−
u
2
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}
u
2
′
{\displaystyle u_{2}'}
m
1
(
u
2
−
u
1
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}
v
1
′
{\displaystyle v_{1}'}
m
2
(
u
2
−
u
1
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}
v
2
′
{\displaystyle v_{2}'}
m
1
(
u
1
−
u
2
)
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
1
′
+
v
c
{\displaystyle v_{1}'+v_{c}}
m
2
u
2
−
m
2
u
1
+
m
1
u
1
+
m
2
u
2
m
1
+
m
2
=
u
1
(
m
1
−
m
2
)
+
2
m
2
u
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
u
2
(
m
2
−
m
1
)
+
2
m
1
u
1
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}
それゆえ、衝突する両方の物体の速度が光速（秒速30万km）よりもはるかに遅い場合、古典的な計算が成り立つ。
いわゆる速度のパラメータ
s
{\displaystyle s}
ラピディティ と呼ばれる）を用いて下式を得る。
v
/
c
=
tanh
(
s
)
{\displaystyle v/c=\tanh(s)}
よって、以下の式を得る。
1
−
v
2
c
2
=
sech
(
s
)
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s)}
相対論的エネルギーと運動量は以下の式により表される。
E
=
m
c
2
1
−
v
2
c
2
=
m
c
2
cosh
(
s
)
{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)}
p
=
m
v
1
−
v
2
c
2
=
m
c
sinh
(
s
)
{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)}
衝突する質量
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
c
{\displaystyle c}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
u
1
{\displaystyle u_{1}}
u
2
{\displaystyle u_{2}}
s
1
{\displaystyle s_{1}}
s
2
{\displaystyle s_{2}}
s
3
{\displaystyle s_{3}}
s
4
{\displaystyle s_{4}}
m
1
cosh
(
s
1
)
+
m
2
cosh
(
s
2
)
=
m
1
cosh
(
s
3
)
+
m
2
cosh
(
s
4
)
{\displaystyle m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})}
m
1
sinh
(
s
1
)
+
m
2
sinh
(
s
2
)
=
m
1
sinh
(
s
3
)
+
m
2
sinh
(
s
4
)
{\displaystyle m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})}
2つの式を足すと以下の従属式に整理される。
m
1
e
s
1
+
m
2
e
s
2
=
m
1
e
s
3
+
m
2
e
s
4
{\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}
エネルギーの式と運動量の式の両辺を2乗し、エネルギーの式から運動量の式を減算すると、
cosh
2
(
s
)
−
sinh
2
(
s
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1}
2
m
1
m
2
(
cosh
(
s
1
)
cosh
(
s
2
)
−
sinh
(
s
2
)
sinh
(
s
1
)
)
=
2
m
1
m
2
(
cosh
(
s
3
)
cosh
(
s
4
)
−
sinh
(
s
4
)
sinh
(
s
3
)
)
{\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}
非ゼロの質量に対しては、双曲線関数の式 cosh(a − b ) = cosh(a ) cosh(b ) − sinh(b ) sinh(a ), を用いると、以下の式を得る。
cosh
(
s
1
−
s
2
)
=
cosh
(
s
3
−
s
4
)
{\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}
cosh
(
s
)
{\displaystyle \cosh(s)}
s
1
−
s
2
=
s
3
−
s
4
{\displaystyle s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}}
s
1
−
s
2
=
−
s
3
+
s
4
{\displaystyle s_{1}-s_{2}=-s_{3}+s_{4}}
非自明な解を出す最後の式から、
s
2
{\displaystyle s_{2}}
e
s
1
{\displaystyle e^{s_{1}}}
e
s
2
{\displaystyle e^{s_{2}}}
e
s
1
=
e
s
4
m
1
e
s
3
+
m
2
e
s
4
m
1
e
s
4
+
m
2
e
s
3
{\displaystyle e^{s_{1}}=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}
e
s
2
=
e
s
3
m
1
e
s
3
+
m
2
e
s
4
m
1
e
s
4
+
m
2
e
s
3
{\displaystyle e^{s_{2}}=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}
これは問題の解であるが、速度のパラメータで表現されている。速度の解を得るために戻って代入すると以下の式となる。
v
1
/
c
=
tanh
(
s
1
)
=
e
s
1
−
e
−
s
1
e
s
1
+
e
−
s
1
{\displaystyle v_{1}/c=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}}
v
2
/
c
=
tanh
(
s
2
)
=
e
s
2
−
e
−
s
2
e
s
2
+
e
−
s
2
{\displaystyle v_{2}/c=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}}
前の解を代入し、
e
s
3
=
c
+
u
1
c
−
u
1
{\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}
e
s
4
=
c
+
u
2
c
−
u
2
{\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}}
Z
=
(
1
−
u
1
2
/
c
2
)
(
1
−
u
2
2
/
c
2
)
{\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}
v
1
=
2
m
1
m
2
c
2
u
2
Z
+
2
m
2
2
c
2
u
2
−
(
m
1
2
+
m
2
2
)
u
1
u
2
2
+
(
m
1
2
−
m
2
2
)
c
2
u
1
2
m
1
m
2
c
2
Z
−
2
m
2
2
u
1
u
2
−
(
m
1
2
−
m
2
2
)
u
2
2
+
(
m
1
2
+
m
2
2
)
c
2
{\displaystyle v_{1}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}
v
2
=
2
m
1
m
2
c
2
u
1
Z
+
2
m
1
2
c
2
u
1
−
(
m
1
2
+
m
2
2
)
u
1
2
u
2
+
(
m
2
2
−
m
1
2
)
c
2
u
2
2
m
1
m
2
c
2
Z
−
2
m
1
2
u
1
u
2
−
(
m
2
2
−
m
1
2
)
u
1
2
+
(
m
1
2
+
m
2
2
)
c
2
{\displaystyle v_{2}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{1}&=&{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\[.5em]v_{2}&=&{\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6c6ba32ecc73b38db1e1b120ce1f871577cf21)
