単純環

数学の環論において、（ $1 \neq 0$ を持つ可換とは限らない）環 $R$ が単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、 $R$ の両側イデアルが $0$ と $R$ しか存在しないことをいう^[1]。

構造定理

単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という^[2]。（さらにネーター的でもある。）単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。

より詳しくは、次が成り立つ^[3]。単純環 R について以下は同値：

$R$ を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル $I$ に対し、 $D$ を自己準同型環 End(_RI) （右から作用すると考える）とすると、R と End(I_D) は自然に同型である（後者は左からの作用を考える）。