単位行列

数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、英: identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

構成

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を $a i, j$ とすると次のように書ける。

a_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

{\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

表記法

$n$ 次単位行列は $E n$ や $I n$ と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に $E$ や $I$ とも書かれる。

対角行列の記法を用いて $I n = diag(1, 1, \dots, 1)$ と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、 $E n = (δ i, j)$ と表すことができる。

性質

単位元である ( $AI = IA = A$ )
正方行列である
対角行列である
対称行列である
逆行列は自分自身である ( $I -1 = I$ )
固有値はすべて1
特異値はすべて1
行列式は1 ( $det(I) = 1$ ）

スカラー行列との関連

単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の $n$ 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。

外部リンク

『単位行列』 - コトバンク
『単位行列の意味と性質，1との比較』 - 高校数学の美しい物語