分岐群 (数学)

数論、特に局所類体論（英語版）における分岐群（ぶんきぐん、英: ramification group）とは、局所体のガロア群のフィルトレーション（英語版）であり、体拡大における分岐の現象について詳細な情報を提供してくれるものである。

付値の分岐理論

付値の分岐理論（ramification theory of valuations）は、体 K の付値 v の K の拡大体 L への延長の集合を研究する数学の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である ^[1] ^[2]。

L/K がガロア拡大のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。

分解群と惰性群

(K, v) を付値体、L を K の有限次ガロア拡大とする。S_v を v の L への延長の同値類からなる集合とし、G を L の K 上のガロア群とする。このとき、G は S_v に σ[w] = [w ∘ σ] で作用する。つまり、w を同値類 [w] ∈ S_v の代表元としたとき、[w] の行き先を自己同型 σ : L → L と w の合成が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [w] の代表元 w の取り方によらない。この作用は推移的である。

v の L への延長 w を１つとる。w の分解群（decomposition group of w）とは、[w] の固定部分群 G_w（同値類 [w] ∈ S_v を固定する G の元全体からなる部分群）のことを言う。

R_w を w についての付値環、m_w をその極大イデアルとする。w の惰性群（inertia group of w）とは、G_w の元 σ で R_w の全ての元 x に対して σx ≡ x (mod m_w)が成り立つもの全体からなる部分群 I_w のことである。言い換えると、I_w は分解群の要素で w に関する剰余体に自明に作用するもの全体である。これは G_w の正規部分群である。

被約分岐指数（英語版）^{[訳語疑問点]} e(w/v) は w によらないので、e(v) と表す。同様に、剰余次数（または相対次数、relative degree）f(w/v) も w によらないので、f(v) と表す。

下付き分岐群

局所体^[3]の有限次ガロア拡大 $L/K$ のガロア群 $G$ の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。 $K$ の整数環を ${\mathcal {O}}_{K}$ と置き、 $L$ の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ $w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}$ とする。ヘンゼルの補題により、ある $\alpha \in L$ を使って ${\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]$ と書くことができる（これは原始元定理より強い主張である）^[4]。整数 $i\geq -1$ に対して、 $G_{i}$ を次の同値な条件を満たす $s\in G$ 全体の集合として定義する。

(i) $s$ は ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}$ に自明に作用する

(ii) 全ての $x\in {\mathcal {O}}_{L}$ について $w(s(x)-x)\geq i+1$ が成り立つ

(iii) $w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1$

この群 $G_{i}$ のことを $i$ 次分岐群（ $i$ -th ramification group）という。これらは減少フィルトレーション（英語版）

G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}

を定める。(i) より $G_{i}$ は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな $i$ に対して自明になることが分かる。 $G_{0}$ は、ガロア拡大での素イデアルの分解との関係に鑑み、慣例的に $G$ の惰性部分群（英語版）と呼ばれている。 $G_{1}$ は $G$ の野生分岐群（英語版）（または暴分岐群、wild inertia subgroup）、商 $G_{0}/G_{1}$ は馴商^{[訳語疑問点]}（tame quotient）と呼ばれている。

ガロア群 $G$ とその部分群 $G_{i}$ はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。

$G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)$ が成り立つ。 $l,k$ は $L,K$ の剰余体（有限体である）^[5]。

$G_{0}=1\Leftrightarrow L/K$ は不分岐拡大

$G_{1}=1\Leftrightarrow L/K$ は従順分岐（英語版）（tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること）

$i\geq 0$ に対して $G_{i}=(G_{0})_{i}$ が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。

$G$ 上の関数 $i_{G}$ を、 $s\in G$ に対して $i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )$ として定義する。先ほどの (ii) から $i_{G}$ は $\alpha$ の取り方によらない。また、フィルトレーション $G_{i}$ の研究は本質的に $i_{G}$ の研究と同値である^[6]。 $s,t\in G$ に対して、 $i_{G}$ は次を満たす。

$i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}$
$i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)$
$i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}$

$\pi$ を $L$ の素元とすると、 $s\mapsto s(\pi )/\pi$ は単射 $G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0$ を誘導する。ここで、 $U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}$ である。この写像は素元の取り方によらない^[7]。これを使うと次がわかる ^[8]。

$G_{0}/G_{1}$ は位数が $p$ と互いに素な巡回群

$G_{i}/G_{i+1}$ は位数が $p$ の巡回群の積

特に、 $G_{1}$ は p 群で、 $G_{0}$ は可解群である。 $G/G_{0}$ は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって（局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた） $G$ は可解群である。

分岐群を使って、体拡大 $L/K$ やその部分拡大の共役差積（英語版） ${\mathfrak {D}}_{L/K}$ を計算することもできる^[9]。次が成り立つ

w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)

$H$ を $G$ の正規部分群とすると、 $\sigma \in G$ に対して $i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)$ が成り立つ^[10]。

これと先ほどの式をあわせると、 $H$ に対応する部分拡大 $F/K$ に対して

v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)

が成り立つ。

$s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1$ とすると、 $sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}$ が成り立つ^[11]。ラザール（英語版）の言葉を使うならば、これはリー代数 $\operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}$ がアーベルであるということになる。

例：円分拡大

$\zeta$ を1の原始 $p^{n}$ 乗根とする。円分拡大 $K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}$ の分岐群は次のように具体的に計算できる^[12]。

G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e})

ここで e は $p^{e-1}\leq s<p^{e}$ となるものである。

例：4次拡大

K を $Q 2$ 上 $x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}$ で生成される拡大体とする。x₁ の共役は $x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}$ と x₃ = −x₁ と x₄ = −x₂ である。

簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを $π$ と置く。 ${\sqrt {2}}$ は $π$ ² を生成し、(2)= $π$ ⁴ である。

x₁ − x₃ = 2x₁ で、これは $π$ ⁵ に入る。

$x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}$ は $π$ ³ に入る。

計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群 $C_{4}$ であることが分かる^[13]。そして、

G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}

かつ $G_{3}=G_{4}=(13)(24)$ である^[14]。

$w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11$ なので、共役差積は ${\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}$ となる。

x₁ は x⁴ − 4x² + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 2¹¹ である。

上付き分岐群

$u\geq -1$ である実数 $u$ に対して、 $G_{u}$ を $i\geq u$ である最小の整数 i の $G_{i}$ として定義する。 $s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1$ となるように定義する、と言ってもいい。関数 $\phi$ を

\phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}

で定義する^[15]。ここで、 $t=-1$ に対しては $(G_{0}:G_{t})$ は $(G_{-1}:G_{0})^{-1}$ とし、 $-1<t\leq 0$ に対しては $1$ とする^[16]。定義により $-1\leq u\leq 0$ に対して $\phi (u)=u$ が成り立つ。 $\phi$ が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 $\psi$ であって $[-1,\infty )$ 上定義されたものが存在する。 $G^{v}=G_{\psi (v)}$ と定義する。 $G^{v}$ を第 v 上付き分岐群（v-th ramification group in upper numbering）という。言い換えれば $G^{\phi (u)}=G_{u}$ である。 $G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}$ が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており^[17]、 $H$ が $G$ の正規部分群なら、全ての $v$ に対し

(G/H)^{v}=G^{v}H/H

が成り立つ。

（一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。）

エルブランの定理

エルブランの定理は、下付き分岐群について $G_{u}H/H=(G/H)_{v}$ が成り立ち（ $H$ に対応する部分拡大を $L/F$ とし、 $v=\phi _{L/F}(u)$ とおいている）、上付き分岐群について $G^{u}H/H=(G/H)^{u}$ が成り立つという主張である^[18]^[19]。これから、局所体の絶対ガロア群をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。

アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理（英語版）という定理が知られている。これは、 $G$ がアーベルならフィルトレーション $G^{v}$ の跳躍は整数、つまり $\phi (i)$ が整数でなかったら $G_{i}=G_{i+1}$ が成り立つという定理である^[20]。

上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群（norm residue group）のフィルトレーションと、アルティン同型写像のもとで両立する。すなわち、同型写像

G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})

による $G^{n}(L/K)$ の像は、ちょうど

U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))

になる^[21]。

脚注

^ Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001
^ Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Commutative algebra, Volume II. Graduate Texts in Mathematics. 29. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Chapter VI. ISBN 978-0-387-90171-8. Zbl 0322.13001
^ 剰余体が有限体、特に完全体であることを仮定している。非完全な剰余体への一般化も存在する。『分岐理論と有限平坦 Galois表現』参照。
^ Neukirch (1999) p.178
^ $G/G_{0}$ は分解群と標準的に同型であることによる。
^ Serre (1979) p.62
^ Conrad
^ これは $U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }$ と $U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}$ であることによる。
^ Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64
^ Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63
^ Serre (1979) 4.2. Proposition 10.
^ Serre, Corps locaux. Ch. IV, §4, Proposition 18
^ x₂ = (x₁² - 2)/x₁ が成り立つので、K は x₁ の共役を全て含み、K は $Q 2$ 上のガロア拡大であることが分かる。σ をこのガロア拡大のガロア群の元で σ(x₁) = x₂ となるものとする。簡単な計算から、σ(x₂) = x₃, σ(x₃) = x₄, σ(x₄) = x₁ が分かり、これから σ は位数 4 の元である。まとめると、K は $Q 2$ 上の4次のガロア拡大で、そのガロア群は位数4の巡回群である。
^ #下付き分岐群の定義に現れる α として x₁ をとり、分岐群の定義と x₁ − x₃ の計算結果を使うと確かめられる。
^ Serre (1967) p.156
^ Neukirch (1999) p.179
^ Serre (1967) p.155
^ Neukirch (1999) p.180
^ Serre (1979) p.75
^ Neukirch (1999) p.355
^ Snaith (1994) pp.30-31

参考文献

服部新 (2007年12月3日). “分岐理論と有限平坦Galois表現” (pdf). 2021年10月24日閲覧。
B. Conrad, Math 248A. Higher ramification groups
Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859
Serre, Jean-Pierre (1967). “VI. Local class field theory”. In Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A.. Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union. London: Academic Press. pp. 128–161. Zbl 0153.07403
Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics. 67. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR0554237. Zbl 0423.12016
Snaith, Victor P. (1994). Galois module structure. Fields Institute monographs. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042

[1] Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001

[2] Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Commutative algebra, Volume II. Graduate Texts in Mathematics. 29. New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Chapter VI. ISBN 978-0-387-90171-8. Zbl 0322.13001

[3] 剰余体が有限体、特に完全体であることを仮定している。非完全な剰余体への一般化も存在する。『分岐理論と有限平坦 Galois表現』参照。

[N178-4] Neukirch (1999) p.178

[5] $G/G_{0}$ は分解群と標準的に同型であることによる。

[S7962-6] Serre (1979) p.62

[7] Conrad

[8] これは $U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }$ と $U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}$ であることによる。

[S64-9] Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64

[S63-10] Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63

[11] Serre (1979) 4.2. Proposition 10.

[12] Serre, Corps locaux. Ch. IV, §4, Proposition 18

[13] x₂ = (x₁² - 2)/x₁ が成り立つので、K は x₁ の共役を全て含み、K は $Q 2$ 上のガロア拡大であることが分かる。σ をこのガロア拡大のガロア群の元で σ(x₁) = x₂ となるものとする。簡単な計算から、σ(x₂) = x₃, σ(x₃) = x₄, σ(x₄) = x₁ が分かり、これから σ は位数 4 の元である。まとめると、K は $Q 2$ 上の4次のガロア拡大で、そのガロア群は位数4の巡回群である。

[14] #下付き分岐群の定義に現れる α として x₁ をとり、分岐群の定義と x₁ − x₃ の計算結果を使うと確かめられる。

[S67156-15] Serre (1967) p.156

[N179-16] Neukirch (1999) p.179

[S67155-17] Serre (1967) p.155

[N180-18] Neukirch (1999) p.180

[S75-19] Serre (1979) p.75

[N355-20] Neukirch (1999) p.355

[Sn3031-21] Snaith (1994) pp.30-31

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