数学 において、冪零リー環 （べきれいリーかん、英 : nilpotent Lie algebra ）とはリー環 のクラスの1つである。この記事では、線型空間 やリー環は全て体
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
リー環
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
冪零 (nilpotent) であるとは、次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう[ 1]
十分大きな
p
{\displaystyle p}
C
p
g
=
{
0
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}{\mathfrak {g}}=\{0\}}
ここで、
C
p
g
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}{\mathfrak {g}}}
降中心列 とした。則ち、
C
0
g
=
g
,
C
p
+
1
g
=
[
g
,
C
p
g
]
(
p
∈
N
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\ {\mathcal {C}}^{p+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{p}{\mathfrak {g}}]\;(p\in \mathbb {N} )}
十分大きな
p
{\displaystyle p}
C
p
g
=
g
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{p}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}}
ここで、
C
p
g
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{p}{\mathfrak {g}}}
昇中心列 とした。則ち、
C
0
g
=
{
0
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}{\mathfrak {g}}=\{0\}}
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
C
p
+
1
g
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{p+1}{\mathfrak {g}}}
g
→
g
/
C
p
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathcal {C}}_{p}{\mathfrak {g}}}
g
/
C
p
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}/C_{p}{\mathfrak {g}}}
イデアル の減少列
g
=
g
0
⊃
g
1
⊃
⋯
⊃
g
p
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \dots \supset {\mathfrak {g}}_{p}=0}
i
=
0
,
…
,
p
−
1
{\displaystyle i=0,\dots ,p-1}
[
g
,
g
i
]
⊂
g
i
+
1
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}
イデアルの減少列
g
=
g
0
⊃
g
1
⊃
⋯
⊃
g
p
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \dots \supset {\mathfrak {g}}_{p}=0}
i
=
0
,
…
,
p
−
1
{\displaystyle i=0,\dots ,p-1}
[
g
,
g
i
]
⊂
g
i
+
1
{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}
dim
g
i
/
g
i
+
1
=
1
{\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}=1}
十分大きな
p
{\displaystyle p}
X
0
,
…
,
X
p
−
1
∈
g
{\displaystyle X_{0},\dots ,X_{p-1}\in {\mathfrak {g}}}
(
ad
X
0
)
∘
⋯
∘
(
ad
X
p
−
1
)
=
0
{\displaystyle (\operatorname {ad} X_{0})\circ \dots \circ (\operatorname {ad} X_{p-1})=0}
任意の
X
∈
g
{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
ad
X
:
g
→
g
{\displaystyle \operatorname {ad} X\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
最後の条件が他の条件から従うことは冪零表現 に関するエンゲルの定理 の系である[ 2]
対角成分が0であるような上三角行列 全体からなるリー環は冪零である。
ハイゼンベルク代数 （英語版 ） 梯子リー環 は冪零リー環である。0以外において固定点を持たない素数周期の自己同型 を持つリー環は冪零である[ 3]
微分リー環 に線形写像として可逆なものが存在するリー環は冪零である[ 4] 上とは対称的に、微分リー環のすべての元が線形写像として冪零であるリー環は冪零である（なぜならば、随伴表現も冪零となるから）。このようなリー環は特性的冪零リー環 と呼ばれる[ 5] [ 6]
すべての冪零リー環は可解 である[ 7]
冪零リー環の部分リー環 と商リー環 および中心拡大 は冪零である。また、有限個の冪零リー環の直積は冪零である[ 8]
冪零リー環のキリング形式 は0である[ 9] n 次正方行列 A が tr(A 2 ) = 0 かつ det A ≠ 0 を満たすとき、半直積
K
n
⋊
K
A
{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\rtimes \mathbb {K} A}
冪零リー環は外部自己同型 （英語版 ） [ 10]
^ Bourbaki 1975 SUMMARY.^ Bourbaki 1975 Chapter I, §4, no. 2, Corollary 1 to Theorem 1. ^ Jacobson 1955 Theorem 1.^ Jacobson 1955 Theorem 3.^ Dixmier and Lister 1957 ^ Leger and Togo 1959 Theorem 1.
^ Bourbaki 1975 Chapter I, §5, no.1, Definition 1.の下の注記^ Bourbaki 1975 Chapter I, §4, no. 1, Proposition 2.^ Bourbaki 1975 Chapter I, §4, no. 1, Corollary 2 to Proposition 1.^ Jacobson 1955 Theorem 4.^ Bourbaki 2005 Chapter VII, §2, no. 1, Definition 1. ^ Bourbaki 2005 Chapter VII, §2, no. 1, Proposition 1. とそのすぐ下の注記^ Bourbaki 2005 Chapter VII, §2, no. 4, Theorem 2.
Bourbaki, N. (1975). Lie Groups and Lie Algebras, Part I: Cahpter I–III . Elements of Mathematics. Paris: Hermann. ISBN 2-7056-5826-2 Bourbaki, N. (2005). Lie groups and Lie algebras. Chapters 7–9 . Elements of Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43405-4 . MR 2109105 Jacobson, N. (1995). “A note on automorphisms and derivations of Lie algebras”. Proceedings of the American Mathematical Society 6 . ISSN 0002-9939 . MR 0068532 . Dixmier, J.; Lister, W.G. (1957). “Derivations of nilpotent Lie algebras”. Proceedings of the American Mathematical Society 8 . ISSN 0002-9939 . MR 0083101 . Leger, G.; Togo, S. (1959). “Characteristically nilpotent Lie algebras”. Duke Mathematical Journal 26 . ISSN 0012-7094 . MR 0114841 . Fulton, W. ; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course . Graduate Texts in Mathematics. 129 . New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6 . MR 1153249 Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory . Graduate Texts in Mathematics. 9 . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction . Progress in Mathematics. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5 
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\ {\mathcal {C}}^{p+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{p}{\mathfrak {g}}]\;(p\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3163d1f5f6007a50a87883e7b425a3a7df630aa2)
![{\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254d6f2c5606020d1333a0d1f93fbe1266e1fd35)
