余接定理 （よせつていり）[ 1] 三角形 の辺の長さと3つの角の半分の余接 の関係を表す三角法 の定理である。余接法則とも呼ばれる。
回避三角形の内接円による辺の分割。角の二等分線は内心（内接円の中心）で交わる。 図のように a , b , c A , B , C α , β , γ 半周長 を s = a + b + c / 2 r 内接円 の半径とすると、以下の式が成立する。
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
cot
(
β
2
)
s
−
b
=
cot
(
γ
2
)
s
−
c
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}}
また、r について、
r
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
.
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
cot
(
α
2
)
=
s
−
a
r
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}
ここで、
s
−
a
=
c
+
b
−
a
2
{\displaystyle s-a={\frac {c+b-a}{2}}}
三角形の成立条件より
c
+
b
−
a
>
0
{\displaystyle c+b-a>0}
s
−
a
>
0
{\displaystyle s-a>0}
∴
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,}
他の角においても同様に示される。
また、式（2）については、以下の式を適用する。
cot
(
u
+
v
+
w
)
=
cot
u
+
cot
v
+
cot
w
−
cot
u
cot
v
cot
w
1
−
cot
u
cot
v
−
cot
v
cot
w
−
cot
w
cot
u
.
{\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}
u
=
α
2
{\displaystyle u={\frac {\alpha }{2}}}
v
=
β
2
{\displaystyle v={\frac {\beta }{2}}}
w
=
γ
2
{\displaystyle w={\frac {\gamma }{2}}}
cot( α / 2 β / 2 γ / 2 ) π / 2 より、
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
cot
(
γ
2
)
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
cot
(
γ
2
)
.
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}
よって、式（*1）より
(
s
−
a
)
r
(
s
−
b
)
r
(
s
−
c
)
r
=
s
−
a
r
+
s
−
b
r
+
s
−
c
r
=
3
s
−
2
s
r
=
s
r
.
{\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}
辺々にr 3 / s
余接定理により正接定理 が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
辺と同様に三角形ABC A s − a r 1 / 2 r (s − a )r (s − a )
よって、三角形ABC S
S
=
r
(
s
−
a
)
+
r
(
s
−
b
)
+
r
(
s
−
c
)
=
r
(
3
s
−
(
a
+
b
+
c
)
)
=
r
(
3
s
−
2
s
)
=
r
s
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs.\end{aligned}}}
∴
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
和の公式と余接定理より、
sin
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
β
2
)
−
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
cot
(
α
2
)
=
a
−
b
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}
∴
a
−
b
c
=
sin
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
和の公式と余接定理より、
cos
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
1
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
−
1
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
2
cot
(
γ
2
)
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
=
4
s
−
a
−
b
−
2
c
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}
和積公式を適用して整理すれば、
b
+
a
c
=
cos
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
Silvester, John R. (2001), Geometry: Ancient and Modern , Oxford University Press, pp. 313, ISBN 9780198508250 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092aee26c4576ac92546235eb7c041945528218c)
