久保公式
一般的な久保公式
編集時間依存しないハミルトニアン で記述される量子系を考える。物理量 の期待値は次のように表される。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho _{0}}}&=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcab790702c35aa724feb5717937fa7560a3f0fd)
ここで は分配関数である。 平衡状態にあった系に、時刻 に外部摂動が働いたと仮定する。摂動は時間依存ハミルトニアン で記述される。密度行列 と の期待値の時間発展は次のように表される。
![{\displaystyle Z_{0}=Tr[\rho _{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae32dc3b83b99936a93f248b956bde2c75c0e14c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho (t)}}&=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56bd87f588a11f027bb593bb55f40af4d55c9243)
状態 の時間発展はシュレーディンガー方程式 によって支配されている。 は小さい摂動と見なせるので、相互作用描像 を用いるのが便利である。相互作用描像での時間発展は次のように書ける
の線形次数においては、 である。 よって線形次数で摂動による期待値 を得る。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a9f63f3008579fd6b500bf0d3d647fff2c3a99)
ここで括弧 は熱平衡状態 での平均値を表す。
