一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列 $\{p_{n}(z)\}$ に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、英: generalized Appell representation）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.

ただし母関数あるいは核と呼ばれる $K(z,w)$ は、次の級数によって構成される：

A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad

with

a_{0}\neq 0

および

\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad

and all

\Psi _{n}\neq 0

および

g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad

with

g_{1}\neq 0.

上述のように、 $p_{n}(z)$ が次数 $n$ の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.

この定数は

h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}

で与えられる。ただしこの和は $n$ を $k+1$ 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての $\{j\}$ に対して取られる。

j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.

核 $K(z,w)$ が $g_{1}=1$ に対し $A(w)\Psi (zg(w))$ と書くことが出来るための必要十分条件は

{\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}

が成り立つことである。ただし $b(w)$ および $c(w)$ にはべき級数表現

b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}

および

c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}

が存在する。今

K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).

ブレンケ多項式の特別な場合として、 $g(w)=w$ が得られ、したがって $b_{n}=0$ が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

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William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
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