ヴェイユ・シャトレ群
数論幾何学の (ヴェイユ・シャトレぐん、英: Weil–Châtelet group)、またはWC群(WC-group)とは、体 K 上定義されたアーベル多様体 A をはじめとする代数群に対して定義される群で、K 上定義された A についての主等質空間がなすアーベル群のことである。楕円曲線に対してこれを導入した Châtelet (1946) と一般の場合にこれを導入した Weil (1955) にちなみ Tate (1958) が名付けた。無限降下法と関連するので、アーベル多様体の数論、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。
これは K の絶対ガロア群 のガロアコホモロジー として直接定義できる。代数体などの大域体と局所体の場合が特に関心を持たれている。K が有限体のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることが Schmidt (1931) で証明され、任意の連結代数群について自明になることが Lang (1956) で証明されている。
関連項目
編集代数体 K 上定義されたアーベル多様体 A のテイト・シャファレヴィッチ群は、ヴェイユ・シャトレ群の元で K のすべての完備化で自明になるもの全体である。
エルンスト・セルマーにちなむ、A のアーベル多様体の同種 についてのセルマー群も関係する群である。これはガロアコホモロジーを使って
と定義できる。ここで Av[ f ] は Av の f ねじれで、 は局所クンマー写像
である。
参考文献
編集- Cassels, John William Scott (1962), “Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN 0024-6115, MR0163913
- Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR1144763
- Châtelet, François (1946), “Méthode galoisienne et courbes de genre un”, Annales de l'Université de Lyon Sect. A. (3) 9: 40–49, MR0020575
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5
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- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Weil-Châtelet group”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
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- Schmidt, Friedrich Karl (1931), “Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p”, Mathematische Zeitschrift 33: 1–32, doi:10.1007/BF01174341, ISSN 0025-5874
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- Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR0105420
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