ヴィヴィアーニの定理
ヴィヴィアーニの定理（ヴィヴィアーニのていり、Viviani's theorem）は正三角形に関する幾何学の定理である。名前はイタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニに由来している[1][2]。
定理
編集正三角形内部の点から3辺に下ろした垂線の長さの和は一定である。
図1では s+t+u がこれにあたる。
証明
編集内部の点を P と置くと、面積に関して S(⊿ABC)=S(⊿ABP)+S(⊿BCP)+S(⊿CAP) が成り立つ。これを変形することで容易に証明できる。
拡張
編集この定理は、任意の正多角形においても成り立つ。
正多角形だけでなく、条件を緩めた
- 全ての角の大きさが等しい多角形
- 全ての辺の長さが等しい凸な多角形
においても成り立つ。
出典
編集- ^ 小野田博一『数学難問BEST100: 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選！』PHP研究所、2015年2月26日。
- ^ 『イラスト＆図解 知識ゼロでも楽しく読める！ 数学のしくみ』西東社、2020年7月8日。ISBN 978-4-7916-8467-0。
- ^ Villiers, Michael De (2013-11). “3D Generalisations of Viviani's theorem” (英語). The Mathematical Gazette 97 (540): 441–445. doi:10.1017/S0025557200000188. ISSN 0025-5572.
外部リンク
編集- Weisstein, Eric W. "Viviani's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- Viviani's theorem - cut the knot