モーデルの定理

数学におけるモーデルの定理（モーデルのていり、英: Mordell's theorem）とは、有理数体 Q 上の楕円曲線 E の有理点と無限遠点 O のなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。

\mathbb {Z} ^{\oplus r}\oplus T\qquad (r\geq 0)

ここで $T$ は有限アーベル群（ねじれ部分群）である。（r は E の階数（ランク）と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。）

有限生成アーベル群 E(Q) の場合、ねじれ部分群 T は次のいずれかに同型となる（メイザーのねじれ定理）。

{\text{(i)}}\;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \qquad (1\leq n\leq 10\,{\text{ or }}\,n=12)

{\text{(ii)}}\;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \;\oplus \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \qquad (n=2,4,6,8)

モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された^[1]。

概要

以下モーデルの定理を正確に述べるために少し準備をする。

モーデルの弱定理 (weak Mordell theorem)

これは E(Q)/2E(Q) が有限群であるという定理である。一般にアーベル群 A が有限生成ならば A/2A は有限群になるので、これは E(Q) が有限生成となるための必要条件になっている。ここで、一般には A/2A が有限群でも A が有限生成になるとは限らないことに注意しなければならない（反例として、Q/2Q = {0} だが Q は有限生成でないことがあげられる）。

有理点の高さ

有理数 x について高さ H(x) を次のように定義する。x = m/n (n, m ∈ Z で、n と m は互いに素）と既約分数で表示したとき

H(x)=\max\{\left|n\right|,\left|m\right|\}

また P ∈ E(Q), P ≠ O に対して H(P) を P のｘ座標の高さとし、H(O) = 1 と定義する。

このとき次の2つの条件を満たす正数 C が存在することが知られている。

(1) E(Q) に属するすべての P に対して

C\cdot H(2P)\geq H(P)^{4}

(2) E(Q) に属するすべての P, Q に対して

C\cdot H(P)\cdot H(Q)\geq min\{H(P+Q),H(P-Q)\}

いま f を E(Q) から E(Q)/2E(Q) の上への自然な準同型

f\colon E(\mathbb {Q} )\to E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )

とし E(Q) の部分集合 A の f による像が E(Q)/2E(Q) であるとする。（すなわち f: A → E(Q)/2E(Q) が全射。いま A に演算は定義しない。）

このときモーデルの弱定理より A が有限集合でも構わないことがわかる。そこで $A=\{Q_{1},Q_{2},\cdot \cdot \cdot ,Q_{n}\}$ とする。ここで正数 M を

M=\max\{C,H(Q_{1}),H(Q_{2}),\cdot \cdot \cdot ,H(Q_{n})\}

と定めると次のモーデルの定理が成り立つ

E(Q) は {P ∈ E(Q), H(P) ≦ M} によって生成される。

高さの定義よりこれは有限集合でなので、結局 E(Q) は有限生成であることが分かる。

モーデル・ヴェイユの定理

モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)は、数体 K の上のアーベル多様体 A に対し、A の K-有理点の群 A(K) が、モーデル・ヴェイユ群(Mordell-Weil group)と呼ばれる有限生成アーベル群であるという定理である。A が楕円曲線で K が有理数体 Q の場合をモーデルの定理と言い、1908年頃にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により提示された疑問に答えたもので、1922年にルイス・モーデル(Louis Mordell)により証明された。

接する弦のプロセス(tangent-chord process)（三次曲線(cubic cuve)における加法定理の一種）は、17世紀より知られている。フェルマー(Fermat)のは無限降下法は良く知られていたが、モーデルは（無限降下法の）証明の重要な段階である商群 E(Q)/2E(Q) を証明することに成功した。確かにこの群の有限性は、E(Q) が有限生成であることの必要条件であり、このことはアーベル群のランクが有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。このことの証明は、E の点の二重性の直接の解析により初めて可能となる。

数年後、アンドレ・ヴェイユ(André Weil)はこの問題を取り上げ、数体上の高い種数を持つ曲線のヤコビ多様体へ一般化し、1928年に彼の博士論文として出版した^[2]。一層抽象的な方法が要求され、同一の構造を持つ証明が遂行された。証明の後半は、A(K) の点の「サイズ」の限界を意味するある種類の高さ函数を必要とした。座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、同次座標（英語版）(homogeneous coordinates)の集合を書き下すことに何デジット必要かという疑問であった。アーベル多様体では、射影多様体として表現されていることから、何の前提も必要ない。

証明の前半も後半も、その後のテクニックの前進により大きく改善され、ガロアコホモロジーでは降下法が適用され、最良の高さ函数は、二次形式であることが研究により示されている。

今後の課題

未だに解決されていない問題はいくつかある。

ランクの計算。未だにランクの計算問題に答えることが求められて、いつも有効とは限らない。
ランクの意味付け、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を参照。
代数曲線 C のヤコビ多様体の中の A とすると、A(K) と C の交叉は無限か？（C = A でなければ、ファルティングス(Faltings)によりファルティングスの定理として証明された。）
同じ脈絡で、C が A の無限個の捩れ点を持つことが可能か？（楕円曲線の場合以外は、レノー(Raynaud)によりマーニン・マンフォード予想が証明され、従って無限個の捩れ点を持つことが否定された。）

脚注

^ Mordell (1922)
^ Weil, André (1928). L'arithmétique sur les courbes algébriques (PhD). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala.

参考文献

加藤, 和也、黒川, 信重、斎藤, 毅『数論I――Fermatの夢と類体論』岩波書店、2005年。ISBN 4-00-005527-5。
A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) pp. 281–315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5
L.J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cam. Phil. Soc. 21, (1922) p. 179.
J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, ISBN 0-387-96203-4 second edition

[1] Mordell (1922)

[2] Weil, André (1928). L'arithmétique sur les courbes algébriques (PhD). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala.

[1]

[2]