メンガーのスポンジ

自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたもの

メンガーのスポンジとは自己相似フラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元ハウスドルフ次元相似次元)は 次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジのイメージ

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。

面積

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メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。 表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は 増加する。

穴を空ける回数を とすると、その表面積は と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

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メンガーのスポンジの次元は3より小さい(2.73次元)ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。 実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は ずつ減少するため、穴を空ける回数を とすると最終的に体積は となり に収束する。

厳密な定義

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メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

 

ここで  は単位立方体で、

 

関連項目

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