メンガーのスポンジ

メンガーのスポンジとは1926年^[1]にカール・メンガーにより発見された自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元（ハウスドルフ次元、相似次元）は ${\textstyle {\frac {\log 20}{\log 3}}(=2.7268\ldots )}$ （オンライン整数列大辞典の数列 A102447）次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。

メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。また、メンガーのスポンジは無限個の穴を開けるため正確には3次元空間では見ることができない。それは表に見える6つの面がシェルピンスキーのカーペットによって構成されていて面積が0となるからである。

面積

メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は ${\tfrac {1}{3}}$ 増加する。

穴を空ける回数を $n$ とすると、その表面積は $2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$ と表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。

体積

メンガーのスポンジの次元は3より小さい（2.7268...次元）ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積は ${\tfrac {7}{27}}$ ずつ減少するため、穴を空ける回数を $n$ とすると最終的に体積は $\lim _{n\to \infty }\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}=0$ となり $0$ に収束する。

厳密な定義

メンガーのスポンジの3回目 (M₃) までの反復構成過程のフローイメージ図。

メンガースポンジの厳密な定義は以下である:

M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}

ここで $M_{0}$ は単位立方体で、

M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i_{1},i_{2},i_{3}\in \{0,1,2\}.(3x-i_{1},3y-i_{2},3z-i_{3})\in M_{n}\\\#\{i_{j}\mid i_{j}=1\}\leqq 1\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.

脚注

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注釈

出典

^ Menger, Karl (1926), “Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.”, Communications to the Amsterdam Academy of Sciences . English translation reprinted in Edgar, Gerald A., ed. (2004), Classics on fractals, Studies in Nonlinearity, Westview Press. Advanced Book Program, Boulder, CO, ISBN 978-0-8133-4153-8, MR2049443

メンガーのスポンジ

目次

面積

体積

厳密な定義

脚注

注釈

出典

関連項目