ハミルトニアン形式の力学において、物体の運動は一般化座標 q =(q 1 ,..,q n )一般化運動量 p =(p 1 ,..,p n )正準変数 で記述される。正準変数を(q , p ) とする相空間 において、f (q , p ), g (q , p )f , g ポアソン括弧 とは、関数
{
f
,
g
}
:=
∑
i
=
1
n
(
∂
f
∂
q
i
∂
g
∂
p
i
−
∂
g
∂
q
i
∂
f
∂
p
i
)
{\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\Big )}}
の事である。{f , g } が (q , p ) の関数である事を明記して{f , g }(q , p ) 、または添え字の表記で{f , g }q , p とも書く。
またベクトル表記を用れば、
{
f
,
g
}
=
∂
f
∂
q
∂
g
∂
p
−
∂
g
∂
q
∂
f
∂
p
{\displaystyle \{f,g\}={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial g}{\partial p}}-{\frac {\partial g}{\partial q}}{\frac {\partial f}{\partial p}}}
とも書き表せる。
ハミルトニアン を H =H (q , p , t )運動方程式 による正準変数の時間発展 (q (t ), p (t )) はハミルトンの正準方程式
q
˙
i
(
t
)
=
∂
H
∂
p
i
{\displaystyle {\dot {q}}_{i}(t)={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
p
˙
i
(
t
)
=
−
∂
H
∂
q
i
{\displaystyle {\dot {p}}_{i}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}
で与えられる。但し、ドット記号は時間t についての微分を表す。一般に正準方程式の解 (q (t ), p (t )) と時間t に依存する関数 F =F (q (t ), p (t ), t )
d
d
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
=
∂
∂
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
+
∑
i
=
1
n
(
∂
F
∂
q
i
q
˙
i
+
∂
F
∂
p
i
p
˙
i
)
=
∂
∂
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
+
∑
i
=
1
n
(
∂
F
∂
q
i
∂
H
∂
p
i
−
∂
F
∂
q
i
∂
H
∂
p
i
)
=
∂
∂
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
+
{
F
,
H
}
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(q(t),p(t),t)={\frac {\partial }{\partial t}}F(q(t),p(t),t)+\sum _{i=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial t}}F(q(t),p(t),t)+\sum _{i=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial t}}F(q(t),p(t),t)+\{F,H\}}
とハミルトニアン H とのポアソン括弧{F ,H } で表現できる[ 3] F =F (q , p , t )
d
d
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
=
∂
∂
t
F
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
,
t
)
+
{
F
,
H
}
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(q(t),p(t),t)={\frac {\partial }{\partial t}}F(q(t),p(t),t)+\{F,H\}}
は F の運動方程式であり、特に正準変数についての正準方程式は
q
˙
i
(
t
)
=
{
q
i
,
H
}
{\displaystyle {\dot {q}}_{i}(t)=\{q_{i},H\}}
p
˙
i
(
t
)
=
{
p
i
,
H
}
{\displaystyle {\dot {p}}_{i}(t)=\{p_{i},H\}}
とポアソン括弧で表せる。
相空間上の二階微分可能 な任意の実数値関数 f , g , h λ , μ [ 3] [ 4]
双線形性 ポアソン括弧は双線形 である。すなわち{ , } は第一成分、第二成分の双方に対して線形である。
{
λ
f
+
μ
g
,
h
}
=
λ
{
f
,
h
}
+
μ
{
g
,
h
}
{\displaystyle \{\lambda f+\mu g,h\}=\lambda \{f,h\}+\mu \{g,h\}}
{
f
,
λ
g
+
μ
h
}
=
λ
{
f
,
g
}
+
μ
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{f,\lambda g+\mu h\}=\lambda \{f,g\}+\mu \{f,h\}}
歪対称性 ポアソン括弧は歪対称性 を満たす。
{
f
,
g
}
=
−
{
g
,
f
}
{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}
歪対称性から
{
f
,
f
}
=
0
{\displaystyle \{f,f\}=0}
が成り立つ。
ヤコビの恒等式 ポアソン括弧はヤコビの恒等式 を満たす。
{
{
f
,
g
}
,
h
}
+
{
{
h
,
f
}
,
g
}
+
{
{
g
,
h
}
,
f
}
=
0
{\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{g,h\},f\}=0}
ライプニッツ・ルール ポアソン括弧はライプニッツ・ルール を満たす。
{
f
g
,
h
}
=
{
f
,
h
}
g
+
f
{
g
,
h
}
{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}
{
f
,
g
h
}
=
{
f
,
g
}
h
+
g
{
f
,
h
}
{\displaystyle \{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}
滑らかな関数 のなす集合はポアソン括弧で積演算を定めるとリー代数 となる[ 5]
ポアソン括弧の時間による全微分は次式を満たす。
d
d
t
{
f
,
g
}
=
{
d
d
t
f
,
g
}
+
{
f
,
d
d
t
g
}
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\{f,g\}={\bigl \{}{\frac {d}{dt}}f,g{\bigr \}}+{\bigl \{}f,{\frac {d}{dt}}g{\bigr \}}}
この関係式とヤコビの恒等式からポアソンの定理 と呼ばれる次の性質が成り立つ[ 4] [ 6]
d
d
t
f
=
d
d
t
g
=
0
⇒
d
d
t
{
f
,
g
}
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f={\frac {d}{dt}}g=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\{f,g\}=0}
相空間上の時間に陽に依存しない力学量F =F (q (t ), p (t ))F は保存量 、または第一積分 であるという。
ポアソンの定理より、相空間における第一積分のなす集合は滑らかな関数 のなすリー代数の部分リー代数 になる[ 5]
正準変数 q , p 基本ポアソン括弧 という[ 4] [ 7]
{
p
i
,
p
j
}
=
{
q
i
,
q
j
}
=
0
{\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},q_{j}\}=0}
{
q
i
,
p
j
}
=
δ
i
j
{\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}
ここで δij は
δ
i
j
:=
{
1
,
i
=
j
,
0
,
i
≠
j
.
{\displaystyle \delta _{ij}:={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}}}
で与えられるクロネッカーのデルタ である。また、次の関係式が成り立つ。
{
f
,
q
i
}
=
−
∂
f
∂
p
i
,
{
f
,
p
i
}
=
∂
f
∂
q
i
{\displaystyle \{f,q_{i}\}=-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}},\quad \{f,p_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
ポアソン括弧は運動の保存量を見つける為に役立つ。実際 H を時間不変なハミルトニアンとし、(q (t ),p (t )) を H に関する正準方程式 の解とし、f を（時刻に依存しない）可微分な任意の関数とすれば、
d
d
t
f
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
)
=
∂
f
∂
q
q
˙
+
∂
f
∂
p
p
˙
=
(
1
)
∂
f
∂
q
∂
H
∂
p
−
∂
f
∂
p
∂
H
∂
q
=
{
f
,
H
}
(
q
(
t
)
,
p
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(q(t),p(t))={\frac {\partial f}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\dot {p}}{\underset {(1)}{=}}{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}(q(t),p(t))}
であるので、 {f , H } が0なら f (q (t ),p (t ))t によらず不変である。（上で(1)は正準方程式 から従う。）
また f, g を {f , H }, {g , H } が恒等的に0になる関数とすれば、
{
{
f
,
g
}
,
H
}
=
(
2
)
−
{
{
H
,
f
}
,
g
}
−
{
{
g
,
H
}
,
f
}
=
(
3
)
0.
{\displaystyle \{\{f,g\},H\}{\underset {(2)}{=}}-\{\{H,f\},g\}-\{\{g,H\},f\}{\underset {(3)}{=}}0.}
よって {f ,g }(q (t ),p (t )) も時刻 t によらず不変である。（上で(2)ヤコビの恒等式、(3)は歪対称性と仮定から従う。）
f, g が運動の保存量である事が分かれば、物体は f = const., g = const.2n −1 個見つかれば、物体が運動する場所が1次元空間に限定されるので、物体の軌道が完全に決定できる。多くの系において正準方程式を実際に解いて運動を決定するのは非常に困難である為、ポアソン括弧を使って保存量を見つけて運動の範囲を特定するのはハミルトン力学において重要な手法となる。
ポアソン括弧の前述した定義は正準座標 (q,p) に依存しているが、シンプレクティック形式 ω を使えば座標に依存しない定義を以下のようにして得られる。（よって特に、ポアソン括弧をシンプレクティック多様体 上で定義できる。）
関数 f に対し、
X
f
{\displaystyle X_{f}}
d
f
(
⋅
)
=
ω
(
X
f
,
⋅
)
{\displaystyle \mathrm {d} f(\cdot )=\omega (X_{f},\cdot )}
を満たす接ベクトル とするとき、ポアソン括弧 {f,g} は
{
f
,
g
}
=
ω
(
X
f
,
X
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}
により定義される。ここで d は外微分 である。なお(4)を満たす
X
f
{\displaystyle X_{f}}
外積代数 の一般論から従う。この定義によるポアソン括弧が前述の定義によるそれと一致する事は、シンプレクティック形式をダルブー座標 で直接書き表して見る事で簡単に証明できる。
また外積代数の一般論から、ポアソン括弧は以下のようにも書き表す事ができる事が示せる：
{
f
,
g
}
=
d
f
(
X
g
)
=
−
d
g
(
X
f
)
=
X
g
(
f
)
=
−
X
f
(
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\mathrm {d} f(X_{g})=-\mathrm {d} g(X_{f})=X_{g}(f)=-X_{f}(g)}
ポアソン括弧とリー括弧
[
A
,
B
]
=
A
B
−
B
A
{\displaystyle [A,B]=AB-BA}
は以下の関係を満たす：
X
{
f
,
g
}
=
−
[
X
f
,
X
g
]
.
{\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}].}
h を二回微分可能な任意の関数とするとき、(5)より
X
f
X
g
(
h
)
=
X
f
(
{
h
,
g
}
)
=
{
{
h
,
g
}
,
f
}
.
{\displaystyle X_{f}X_{g}(h)=X_{f}(\{h,g\})=\{\{h,g\},f\}.}
同様に
X
g
X
f
(
h
)
=
{
{
h
,
f
}
,
g
}
.
{\displaystyle X_{g}X_{f}(h)=\{\{h,f\},g\}.}
よってヤコビの恒等式と(5)より、
[
X
f
,
X
g
]
(
h
)
=
(
X
f
X
g
−
X
g
X
f
)
(
h
)
=
{
{
h
,
g
}
,
f
}
−
{
{
h
,
f
}
,
g
}
=
{
{
f
,
g
}
,
h
}
=
−
X
{
f
,
g
}
(
h
)
.
{\displaystyle [X_{f},X_{g}](h)=(X_{f}X_{g}-X_{g}X_{f})(h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}(h).}
h の任意性より
[
X
f
,
X
g
]
=
−
X
{
f
,
g
}
{\displaystyle [X_{f},X_{g}]=-X_{\{f,g\}}}
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
![{\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69452ba578e1d217e3c9d9de2c294e106d026ec)
=(X_{f}X_{g}-X_{g}X_{f})(h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb69203d6ff35ddeea023590591a7dcc5a7ad8ce)
![{\displaystyle [X_{f},X_{g}]=-X_{\{f,g\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7806440ef23522511e42393b8fac9d66d7d1b33)