フレシェ分布

フレシェ分布（英語: Fréchet distribution) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布（タイプIの極値分布）、ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化極値分布（英語: generalized extreme value distribution）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布

確率密度関数 位置母数が0の場合
累積分布関数 位置母数が0の場合
母数	$\alpha \in (0,\infty )$ 形状母数. (以下の2つのパラメータを追加できる) $s\in (0,\infty )$ 尺度母数 (標準分布で $s=1$) $m\in (-\infty ,\infty )$ 位置母数 (標準分布で $m=0$)
台	$x>m$
確率密度関数	${\frac {\alpha }{s}}\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\exp \left(-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }\right)$
累積分布関数	$\exp \left(-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }\right)$
期待値	${\begin{cases}\ m+s\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)&{\text{for }}\alpha >1\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
中央値	$m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\ln 2}}}$
最頻値	$m+s\left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }$
分散	${\begin{cases}\ s^{2}\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}\right)&{\text{for }}\alpha >2\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
歪度	${\begin{cases}\ {\frac {\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)-3\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+2\Gamma ^{3}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)}{\sqrt {\left(\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{3}}}}&{\text{for }}\alpha >3\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
尖度	${\begin{cases}\ -6+{\frac {\Gamma \left(1-{\frac {4}{\alpha }}\right)-4\Gamma \left(1-{\frac {3}{\alpha }}\right)\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)+3\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)}{\left[\Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\Gamma ^{2}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}&{\text{for }}\alpha >4\\\ \infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$
エントロピー	$1+{\frac {\gamma }{\alpha }}+\gamma +\ln \left({\frac {s}{\alpha }}\right)$, ここで $\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数。
モーメント母関数	モーメント $k$ が $\alpha >k$　ならば存在する。

フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する。

研究の発展

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた。

定義と性質

フレシェ分布の累積分布関数は

$F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.$

である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は

$f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}\;e^{-x^{-\alpha }}$

となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。

• 期待値は$E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\text{ if }}\alpha >1$となる。
• 分散は${\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}{\text{ if }}\alpha >2$となる。

ここで、$\Gamma \left(\right)$はガンマ関数であり、

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx$

である。

ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる。

一般化フレシェ分布

位置パラメータ m（最小値）と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は

$F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.$

である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は

$f(x)={\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}$

となる。

応用例

水文学

フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。

金融

フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた。

国際経済学（貿易論）

リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 ($Z_{i}$) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した。

$F_{i}(z)=\Pr(Z_{i}\leq z)=e^{-T_{i}z^{-\theta }}$

ここで、$\theta >1$ が形状パラメータ（定義式の$\alpha$）に相当する。$\theta$ が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。$T_{i}>0$ は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。$T_{i}$が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる。

脚注

参考文献

• Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). Lovric, Miodrag. ed (英語). Extreme Value Distributions. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246. ISBN 978-3-642-04898-2. https://doi.org/10.1007/978-3-642-04898-2_246. 
• Beirlant, Jan; Goegebeur, Yuri; Teugels, Jozef; Segers, Johan (2004-08-27) (英語). Statistics of Extremes: Theory and Applications. Wiley. doi:10.1002/0470012382. ISBN 978-0-471-97647-9. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0470012382. 
• Coles, Stuart (27 November 2013) (英語). An introduction to statistical modeling of extreme values (eBook) (1 ed.). London: Springer London. doi:10.1007/978-1-4471-3675-0. ISBN 978-1-4471-3675-0. OCLC 883391507 
• Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2002-09). “Technology, Geography, and Trade” (英語). Econometrica 70 (5): 1741–1779. doi:10.1111/1468-0262.00352. ISSN 0012-9682. http://doi.wiley.com/10.1111/1468-0262.00352. 
• Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2012-05). “Putting Ricardo to Work” (英語). Journal of Economic Perspectives 26 (2): 65–90. doi:10.1257/jep.26.2.65. ISSN 0895-3309. https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/jep.26.2.65. 
• Fréchet, M (1927). “Sur la loi de probabilite de l'ecart maximum”. Ann. de la Soc. Polonaise de Math. 6: 93–116. 
• Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (1928-04). “Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample” (英語). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 24 (2): 180–190. doi:10.1017/S0305004100015681. ISSN 1469-8064. https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/limiting-forms-of-the-frequency-distribution-of-the-largest-or-smallest-member-of-a-sample/7BE8DE65FCDFC3ABECFE1054DFB56CB5. 
• Gumbel, E. J. (1958-03-02) (英語). Statistics of Extremes. Columbia University Press. doi:10.7312/gumb92958. ISBN 978-0-231-89131-8. https://www.degruyter.com/document/doi/10.7312/gumb92958/html 
• Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees (10 2000) (英語). Extreme Value Distributions. PUBLISHED BY IMPERIAL COLLEGE PRESS AND DISTRIBUTED BY WORLD SCIENTIFIC PUBLISHING CO.. doi:10.1142/p191. ISBN 978-1-86094-224-2. https://doi.org/10.1142/p191. 
• 高橋倫也、志村隆彰『極値統計学』（初版）近代科学社、2016年8月31日。ISBN 978-4-7649-7070-0。OCLC 961831235。 

関連項目

• 確率分布
• 極値分布
• ガンベル分布（タイプIの極値分布）
• ワイブル分布（タイプIIIの極値分布）
• モーリス・ルネ・フレシェ