中身の詰まったトーラス

初等幾何学における中身の詰まったトーラス（なかみのつまったトーラス、英: solid torus; ソリッドトーラス、トーラス体）は、一つの円周に沿って円板が掃く領域として定まる回転体である。位相的には、一つのハンドル体のみを持つ（すなわち種数 $1$ の）コンパクト図形である。

中身の詰まったトーラスを図示するには三次元空間に埋め込まれたトーラス形（トロイド）として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべきトーラスと同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面（境界面）を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。

回転体としてのトーラス

値 $r < R$ を任意にとり固定して考えるとき、ソリッド・トーラスは半径 $R$ の円周からの距離 $a \leq r$ なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 $r$ の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 $R$ がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる^[1]^:198。

媒介表示

トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:

{\vec {X}}(t,p)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}+a{\begin{pmatrix}\cos t\cos p\\\sin t\cos p\\\sin p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+a\cos p)\cos t\\(R+a\cos p)\sin t\\a\sin p\end{pmatrix}}\quad (0\leq a\leq r,0\leq t,p\leq 2\pi ).

体積

ソリッドトーラスの体積は、函数行列式（ヤコビ行列の行列式）上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:

J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},

ゆえにその行列式は $\det(J_{f})=a(a\cos p+R)$ であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は

V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R

と計算される。

命題: ソリッドトーラスの体積は $V=2\pi ^{2}r^{2}R$ で与えられる。

この公式を、円板の面積 $A_{r}=\pi r^{2}$ と中心軌跡（円周の長さ） $U_{R}=2\pi R$ を掛けたものと解釈することができる。これは円柱体の体積が $V_{\text{cylinder}}=\pi r^{2}l$ であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 $U_{r}=2\pi r$ と $U_{R}=2\pi R$ の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が $O_{\text{cylinder}}=2\pi rl$ であることに対応する。