ディリクレエネルギー
数学におけるディリクレエネルギー(英: Dirichlet's energy)は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 H1 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。
定義
編集開集合 Ω ⊆ Rn と函数 u : Ω → R が与えられたとき、その函数 u のディリクレエネルギーは次の実数で定義される:
性質と応用
編集ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 u に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。
(適切な境界条件に対する)ラプラス方程式
を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 u を探す変分問題を解くことと同値である。
関連項目
編集参考文献
編集- Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729