カルタンの定理 (リー群)

数学において、リー群論の3つの結果が、エリ・カルタンにちなんで、カルタンの定理 (Cartan's theorem) と呼ばれている。

閉部分群定理

カルタンの定理は閉部分群定理 (closed subgroup theorem) を意味することがある。この定理は、リー群 G に対し、任意の閉部分群が部分リー群であるというものである。

表現論において

カルタンの定理は、半単純リー群の表現論において、最高ウェイトベクトルに関するある定理を意味することもある。

リー代数と単連結リー群の同値性

単連結実リー群の圏と有限次元実リー代数の圏の同値性を、普通は、カルタンの定理、あるいは、カルタン・リーの定理と呼ぶ（20世紀後半の文献において）。これは、エリ・カルタンにより証明されたことであり、一方、ソフス・リー(S. Lie)は早い時期に無限小版を証明した（モーレー・カルタンの方程式の局所可解性（モーレー・カルタンの微分形式を参照））、あるいは、有限次元リー代数の圏と局所リー群の圏の同値性）。リーは、彼の結果を 3つの方向で 3つの変換定理を一覧とした。カルタンの定理の無限小版は、本質的には、彼の第三の逆定理であり、よってセール(Serre)は書籍の中でこのように呼んだ。しかし、「第三のリーの定理」(third Lie theorem)と呼び方は、歴史的には誤っている。しかし、多くの一般化との関係で、最近の十数年では、よく使われている。

関連項目

• カルタンの定理 A, B, アンリ・カルタンの結果
• カルタンの補題

参考文献

• Cartan, Élie (1930), “La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs”, Mémorial Sc. Math. XLII: pp. 1–61 
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR1834454