エルミート多項式

エルミート多項式（-たこうしき、英: Hermite polynomial）は、常微分方程式

\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+2n\right)H_{n}(x)=0

を満たす多項式 $H_{n}(x)$ のことを言う^[1]^[2]。またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。

エルミート多項式は重み関数（英語版）を $e^{-x^{2}}$ として、次の直交性を持つ^[3]。

\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{m,n}

ここで $\delta _{m,n}$ はクロネッカーのデルタである（ $m=n$ のとき1, それ以外では0）。

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}

これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。

{\begin{aligned}H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2nH_{n-1}(x)\\{\frac {d}{dx}}H_{n}(x)&=2xH_{n}(x)-H_{n+1}(x)\end{aligned}}

S(x,y)=\exp(-y^{2}+2xy)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {y^{n}}{n!}}

である^[5]。周回積分で表すと^[6]

H_{n}(x)=\oint _{C}dz~{\frac {\exp(-z^{2}+2xz)}{z^{n+1}}}

ここで $C$ は原点を囲む反時計回りの経路である。

陽に表せば^[7]

H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}

である。ここで $\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数である。最初の幾つかを挙げると、

{\begin{aligned}H_{0}(x)&=1\\H_{1}(x)&=2x\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x\end{aligned}}

エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。また、正規関数のフーリエ共役関数もまた正規関数であることを示す^[8]。

脚注

^ 伏見康治 1943, p. 160, III章 25節 Hermite多項式, Hermite函数 (25.3).
^ 永宮健夫「微分方程式論」(河出書房応用数学講座第二巻）
^ “DLMF: 18.3 Definitions”. NIST Digital Library of Mathematical Functions. NIST (2020年3月15日). 2020年5月13日閲覧。
^ “DLMF: 18.5 Explicit Representations”. NIST Digital Library of Mathematical Functions. NIST (2020年3月15日). 2020年5月13日閲覧。
^ 伏見康治 1943, p. 159, III章 25節 Hermite多項式, Hermite函数 (25.1).
^ “DLMF: 18.10 Integral Representations”. NIST Digital Library of Mathematical Functions. NIST (2020年3月15日). 2020年5月13日閲覧。
^ “DLMF: 18.5 Explicit Representations”. NIST Digital Library of Mathematical Functions. NIST (2020年3月15日). 2020年5月13日閲覧。
^ 寺澤寛一、今井功『定積分及Fourier級数』河出書房〈応用数学講座第五巻〉、1945年。