ウィッシャート分布

ウィッシャート分布（ウィッシャートぶんぷ、英: Wishart distribution）は、連続型の確率分布である。

定義と性質

互いに独立な $n$ 個の $p$ 変量の確率ベクトル ${\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ が、平均が $0$ 、共分散行列が ${\boldsymbol {\Sigma }}$ の多変量正規分布 $N(0,{\boldsymbol {\Sigma }})$ に従うとき、

{\boldsymbol {A}}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {x}}_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}'

は自由度 $n$ のウィッシャート分布に従う。ここで $n \geq p$ である。ウィッシャート分布は、 $p,n,{\boldsymbol {\Sigma }}$ をパラメータとして $W({\boldsymbol {\Sigma }},p,n)$ と表記されることがあり、分布の分布を表すモデルである、と言える。

ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

f({\boldsymbol {A}})={\frac {|{\boldsymbol {A}}|^{(n-p-1)/2}\exp \left\{-{\dfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {A}}\right)\right\}}{2^{pn/2}\pi ^{p(p-1)/4}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{n/2}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left({\dfrac {n-i+1}{2}}\right)}}

$\operatorname {tr}$ は行列のトレースである。このとき、期待値は $n{\boldsymbol {\Sigma }}$ 、分散共分散行列は $2n{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Sigma }}$ である。

${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {\Sigma }}$ の成分をそれぞれ $a_{ij},\sigma _{ij}$ と表し、 $p =$ 1 の場合を考え、 $a_{11}/\sigma _{11}=\chi ^{2}$ と置くと、ウィッシャート分布の確率密度関数は以下の形に表され、ウィッシャート分布がカイ二乗分布を多変量に拡張したものであることが分かる。