余代数 （よだいすう、英語 : coalgebra 単位元 を持つ結合代数 に対して、圏の双対をとったものをいう。
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
(
D
,
Δ
′
,
ε
′
)
{\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
f
:
C
→
D
{\displaystyle f:C\to D}
Δ
′
∘
f
=
(
f
⊗
f
)
∘
Δ
,
{\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}
ε
′
∘
f
=
ε
{\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }
を満たすとき
f
{\displaystyle f}
余代数射 （coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
D
⊂
C
{\displaystyle D\subset C}
D
{\displaystyle D}
部分余代数 であるとは、
Δ
(
D
)
⊆
D
⊗
D
{\displaystyle \Delta (D)\subseteq D\otimes D}
(
D
,
Δ
|
D
,
ε
|
D
)
{\displaystyle (D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})}
I
{\displaystyle I}
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
部分ベクトル空間 とする。
I
{\displaystyle I}
余イデアル （coideal）であるとは
Δ
(
I
)
⊆
I
⊗
C
+
C
⊗
I
,
{\displaystyle \Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,}
ε
(
I
)
=
0
{\displaystyle \varepsilon (I)=0}
を満たすことをいう。このとき商
C
/
I
{\displaystyle C/I}
写像
t
w
{\displaystyle \mathrm {tw} }
t
w
:
C
⊗
C
→
C
⊗
C
,
c
⊗
c
′
↦
c
′
⊗
c
{\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c}
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
余可換 であるとは、
t
w
∘
Δ
=
Δ
{\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta }
Δ
t
w
=
t
w
∘
Δ
:
C
→
C
⊗
C
→
C
⊗
C
,
c
↦
∑
i
c
i
(
2
)
⊗
c
i
(
1
)
{\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}}
(
C
,
Δ
t
w
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )}
逆余代数 という。余代数が余可換であることと
Δ
=
Δ
t
w
{\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }}
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
Δ
(
c
)
=
∑
i
c
i
⊗
c
~
i
(
c
i
,
c
~
i
∈
C
)
{\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
Δ
(
c
)
=
∑
c
(
1
)
⊗
c
(
2
)
{\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
∑
c
(
1
)
(
1
)
⊗
c
(
1
)
(
2
)
⊗
c
(
3
)
=
∑
c
(
1
)
⊗
c
(
2
)
(
1
)
⊗
c
(
2
)
(
2
)
=
∑
c
(
1
)
⊗
c
(
2
)
⊗
c
(
3
)
{\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad }
∑
ε
(
c
(
1
)
)
c
(
2
)
=
∑
c
(
1
)
ε
(
c
(
2
)
)
=
c
{\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad }
S
{\displaystyle S}
k
S
{\displaystyle kS}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
Δ
(
s
)
=
s
⊗
s
,
ε
(
s
)
=
1
{\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1}
で定めると、
(
k
S
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (kS,\Delta ,\varepsilon )}
k
{\displaystyle k}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
{
c
n
∣
n
∈
N
}
{\displaystyle \{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Δ
(
c
i
)
=
∑
i
=
0
n
c
i
⊗
c
n
−
i
,
ε
(
c
i
)
=
δ
0
,
n
{\displaystyle \Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}}
で定めると、
(
H
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}
k
{\displaystyle k}
devided power coalgebra という。
M
n
(
K
)
{\displaystyle M_{n}(K)}
n
2
{\displaystyle n^{2}}
K
{\displaystyle K}
{
e
i
j
}
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle \{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}}
Δ
(
e
i
j
)
=
∑
k
e
i
k
⊗
e
k
j
,
ε
(
e
i
j
)
=
δ
i
,
j
{\displaystyle \Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}}
によって定めると
(
M
n
(
K
)
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )}
matrix coalgebra という。
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
T
=
{
(
x
,
y
)
∈
P
×
P
∣
x
≤
y
}
{\displaystyle T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}}
V
{\displaystyle V}
T
{\displaystyle T}
K
{\displaystyle K}
(
x
,
y
)
∈
T
{\displaystyle (x,y)\in T}
Δ
(
x
,
y
)
=
∑
x
≤
z
≤
y
(
x
,
z
)
⊗
(
z
,
y
)
,
ε
(
x
,
y
)
=
δ
x
,
y
{\displaystyle \Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}}
で定めると
(
P
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )}
C
{\displaystyle C}
K
{\displaystyle K}
{
s
,
c
}
{\displaystyle \{s,c\}}
Δ
(
s
)
=
s
⊗
c
+
c
⊗
s
,
Δ
(
c
)
=
c
⊗
c
−
s
⊗
s
,
ε
(
s
)
=
0
,
ε
(
c
)
=
1
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}
で定めると
(
C
,
Δ
,
ε
)
{\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )}
trigonometric coalgebra という。
C
{\displaystyle C}
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
f
,
g
∈
H
o
m
K
(
C
,
A
)
{\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)}
f
∗
g
:=
m
∘
f
⊗
g
∘
Δ
{\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta }
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
(
f
∗
g
)
(
c
)
=
∑
f
(
c
(
1
)
)
g
(
c
(
2
)
)
{\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}
で定める。
Δ
{\displaystyle \Delta }
∗
{\displaystyle \ast }
H
o
m
K
(
A
,
C
)
=:
C
∗
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }}
K
{\displaystyle K}
C
{\displaystyle C}
双対代数 あるいは畳み込み代数 という。単位は
ε
∘
u
:
C
→
K
→
A
,
c
↦
ε
(
c
)
1
A
{\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}
で与えられる。また
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
H
o
m
K
(
A
,
C
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)}
逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
A
∗
⊗
A
∗
→
(
A
⊗
A
)
∗
,
f
⊗
g
↦
[
a
⊗
b
↦
f
(
a
)
g
(
b
)
]
{\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}
が存在して
A
∗
⊗
A
∗
≃
(
A
⊗
A
)
∗
{\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }}
m
∗
:
a
→
(
A
⊗
A
)
∗
≃
A
∗
⊗
A
∗
,
u
∗
:
A
→
K
,
f
↦
f
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に
A
{\displaystyle A}
Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules . Cambridge University Press Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras . Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction . Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235 . Marcel-Dekker 
![{\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04658f5c9803c77392c947f72e0b6456912270c7)
